Bài 1:
Gọi K là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
M,K lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MK là đường trung bình của ΔABC
=>MK//BC và \(MK=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔCAD có
K,N lần lượt là trung điểm của CA,CD
=>KN là đường trung bình của ΔACD
=>KN//AD và \(KN=\frac{AD}{2}\)
MN=(AD+BC)/2
=>MN=MK+KN
=>M,K,N thẳng hàng
mà MK//BC và NK//AD
nên BC//AD
=>ABCD là hình thang
BÀi 2:
a: TA có; \(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)
\(\hat{ACE}=\hat{BCE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)
mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
nên \(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\hat{ACE}=\hat{BCE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)
AB=AC
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD=ΔACE
=>AD=AE và BD=CE
Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
nên DE//BC
Xét tứ giác BEDC có
DE//BC
DB=EC
DO đó: BEDC là hình thang cân
b: Ta có: ED//BC
=>\(\hat{EDB}=\hat{DBC}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{DBC}=\hat{EBD}\)
nên \(\hat{EDB}=\hat{EBD}\)
=>EB=ED
mà EB=DC
nên BE=ED=DC
c: Xét ΔJEB và ΔJDC có
JE=JD
\(\hat{JEB}=\hat{JDC}\) (BEDC là hình thang cân)
EB=DC
Do đó: ΔJEB=ΔJDC
=>JB=JC
=>J nằm trên đường trung trực của BC(1)
Xét ΔOBC có \(\hat{OBC}=\hat{OCB}\)
nên ΔOBC cân tại O
=>OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có; IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(3)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra A,J,O,I thẳng hàng
