Bài 5: ĐKXĐ: x<>1; x<>-3
\(\frac{x+m}{x+3}+\frac{x-3}{x-1}=2\)
=>\(\frac{\left(x+m\right)\left(x-1\right)+\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=2\)
=>(x+m)(x-1)+(x^2-9)=2(x+3)*(x-1)
=>\(x^2-x+mx-m+x^2-9=2\left(x^2+2x-3\right)\)
=>x(m-1)-m-9=4x-6
=>x(m-1-4)=-6+m+9
=>x(m-5)=m+3
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m-5<>0 và \(\frac{m+3}{m-5}\) <>-3 và \(\frac{m+3}{m-5}\) <>-1
=>m<>5 và m+3+3(m-5)<>0 và m+3+m-5<>0
=>m<>5 và 4m-12<>0 và 2m-2<>0
=>m∉{5;3;1}
Bài 4:
a: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{MAH}\) chung
Do đó: ΔAMH~ΔAHB
b: Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{NAH}\) chung
Do đó: ΔANH~ΔAHC
=>\(\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AN\cdot AC=AH^2\)
c: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>HA=MN
=>MN=7,5(cm)
ΔAMH~ΔAHB
=>\(\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AM\cdot AB=AH^2\)
=>\(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Do đó: ΔAMN~ΔACB
=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\frac{MN}{CB}\right)^2=\left(\frac{7.5}{15}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14\)
ΔBAC có AH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot7,5\cdot15=7,5\cdot7,5=56,25\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
=>\(S_{AMN}=\frac14\cdot56,25=14,0625\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
d: AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm chung của AH và MN
Xét ΔHAB có
I,K lần lượt là trung điểm của HA,HB
=>IK là đường trung bình của ΔHAB
=>IK//AB
mà AB⊥ AC
nên KI⊥ AC
Xét ΔCAK có
KI,AH là các đường cao
KI cắt AH tại I
Do đó: I là trực tâm của ΔCAK
=>CI⊥AK tại E
Xét ΔIEA vuông tại E và ΔIHC vuông tại H có
\(\hat{EIA}=\hat{HIC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIEA~ΔIHC
=>\(\frac{IE}{IH}=\frac{IA}{IC}\)
=>\(IE\cdot IC=IH\cdot IA\)
=>\(4\cdot IE\cdot IC=4\cdot IH\cdot IA=AH^2\)
