Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1.Chứng minh:

\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2}\)

Cho a,b>0. Chứng minh:

\(\frac{a}{2a+\beta b}+\frac{b}{2b+\beta a}\ge\frac{2}{\alpha+\beta}\)

với \(\alpha\ge\beta>0\)

Cho tam giác ABC vuông tại A,AB<AC,vẽ đường cao AH.Vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC tại M,N

a)Chứng minh AM.AB=AN.AC

b)Chứng minh BMNC là tứ giác nội tiếp

c)Gọi O là trung điểm của BC.Giao của AO và MN là D.Chứng minh \(\frac{1}{AD}=\frac{1}{BH}+\frac{1}{CH}\)

d)Gọi giao của MN và BC là P.Giao điểm thứ hai của AP và (I) là K.Chứng minh ∠BKC=90 độ

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O).Gọi D là 1 điểm thay đổi trên BC.Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD,ACD lần lượt cắt AC,AB tại E và F.Gọi K là giao của BE và CF.

a)CMR: AEKF là tứ giác nội tiếp

b)Gọi H là trực tâm tam giác ABC.Cmr nếu A,O,D thẳng hàng thì HK//BC

c)Kí hiệu S là diện tích tam giác KBC,Cmr khi D thay đổi trên cạnh BC thì luôn có \(S\le\left(\frac{BC}{2}\right)^2.tan\frac{BAC}{2}\)

d)Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.Chứng minh BF.BA - CE.CA=BD²-CD² và ID ⊥ BC

Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC ( M không trùng với B,C). Đường thẳng qua A và vuông góc với CM tại H cắt BM tại K

a)Chứng minh H là trung điểm AK

b)Chứng minh K luôn nằm trên 1 đường tròn cố định.Tính bán kính đường tròn biết R=\(3\sqrt{3}\)

c)Gọi D là giao của AM và BC.Tìm vị trí điểm M sao cho tích hai bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBD,MCD đạt giá trị lớn nhất

Mọi người giúp mình câu c với ạ,mình cần gấp,thanks!

Cho (O) và dây cung AB cố định (O∉AB).C là điểm di đọng trên đoạn AB (C không trùng với A,B và trung điểm AB). Đường tròn (P) đi qua C và tiếp xúc với (O) tại A, đường tròn (Q) đi qua C và tiếp xúc với (O) tại B. Các đường tròn (P) và (Q) cắt nhau tại điểm thứ 2 là M. Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại I.

a) Chứng minh MC là phân giác ∠AMB

b)OM cắt AB tại K.Chứng minh \(\frac{KA}{KB}=\frac{CA}{CB}\)

c)Chứng minh khi C thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc 1 đường thẳng cố định

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I), các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại H.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,AH; G là giao điểm thứ 2 cảu đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với (O);Q là giao của AI và MN.Chứng minh rằng:

a)MN vuông góc với EF

b)M,H,G thẳng hàng

c)Q nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

Mọi người giúp em câu c với ạ

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Mọi người giúp mình câu này nha.Cảm ơn nhiều!