Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E là các hình chiếu của H trên AB, AC và M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH.

a) Chứng minh AH = DE; AH.BC = AB.AC

b) Chứng minh tứ giác MDEN là hình thang vuông.

c) Gọi P là giao điểm của đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh PQ⊥DE .

d) Chứng minh P là trực tâm ∆ABM.

e) Cho K là điểm nằm giữa BC. Tìm vị trí của K để AK có độ dài ngắn nhất

f) Chứng minh S_ABC = 2.S_MDEN. 

Cho tam giác ABC, phía ngoài tam giác ta dựng các hình vuông ABDE và ACFG.

 a) Chứng minh BG CE = và BG⊥CE .

b) Gọi M, P theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, EG và Q, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFG. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông. 

Cho ∆ABC. Điểm I di động trên BC. Qua I kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại M, qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N

a) Tứ giác AMIN là hình gì? Chứng minh.

b) Tìm vị trí của điểm I để AI ⊥ MN

c) Tìm vị trí của điểm I để MN// BC

d) Kẻ MH, NK vuông góc với BC. Chứng minh rằng Khi điểm I chạy trên đoạn thẳng BC thì tổng MH + NK luôn không đổi?

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E là các hình chiếu của H trên AB, AC và M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH.

a) Chứng minh AH = DE; AH.BC = AB.AC

b) Chứng minh tứ giác MDEN là hình thang vuông.

c) Gọi P là giao điểm của đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh PQ⊥DE .

d) Chứng minh P là trực tâm ∆ABM.

e) Cho K là điểm nằm giữa BC. Tìm vị trí của K để AK có độ dài ngắn nhất

f) Chứng minh S_ABC = 2.S_MDEN. 

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

b) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông?(chỉ cần câu b)

c) Gọi O là giao điểm của AC,BD.Chứng minh: M,O,P thẳng hàng

d) Chứng minh : AC, BD, QN đồng qui

Cho biểu thức : A= \(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x^2-2x}{x^2-4}+\dfrac{1}{2+x}\)

a.Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x² + x = 0

b.Tìm x để A= \(\dfrac{-1}{3}\)

c. Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên 

Cho tam giác ABC, phía ngoài tam giác ta dựng các hình vuông ABDE và ACFG.

a) Chứng minh BG=CEvà BG⊥CE  .

b) Gọi M, P theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, EG và Q, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFG. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.