Do ABCD là hình chữ nhật nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AD=BC\end{matrix}\right.\)

Mà M là trung điểm BC ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}MA=MD\\MB=MC\end{matrix}\right.\) (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ABM, MCD, AMD, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+MB^2=AM^2\\CD^2+MC^2=MD^2\\AM^2+MD^2=AD^2\end{matrix}\right.\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

 \(2AB^2+2BM^2=AD^2=BC^2=4BM^2\)

\(\Rightarrow AB=BM=\dfrac{1}{2}BC\)

Mà \(2\cdot\left(AB+BC\right)=36\)

⇒ AB = 6 (cm) và BC = 12 (cm).

Dùng thước thẳng, dễ dàng đo được đoạn MN dài 1,5cm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\cdot MN=2\cdot1,5=3\left(cm\right)\\CD=6\cdot MN=6\cdot1,5=9\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.\)

Đường trung bình trong tam giác DEF là: cạnh MN.

Đường trung bình trong tam giác HIK là: cạnh BC, CA, AB.

a. Do H, K lần lượt là trung điểm cạnh DF, EF 

⇒ HK là đường trung bình của tam giác DEF.

⇒ DE = 2 HK = 2 \(\times\) 3 = 6.

b. Do M là trung điểm cạnh AB mà MN // AC (cùng vuông góc với AB)

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ N là trung điểm của cạnh BC

⇒ y = NB = NC = 5.

Dựa vào tính chất đường phân giác trong tam giác với tam giác ABC có AD là phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) , ta được: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\).

Xét tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC

⇒ MN, NP, PM là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=\dfrac{1}{2}BC\\NP=\dfrac{1}{2}AB\\PM=\dfrac{1}{2}AC\end{matrix}\right.\)

Khi đó chu vi tam giác MNP là

P = MN + NP + PM = \(\dfrac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)=\dfrac{1}{2}.P_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot32=16\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ABC có PQ // BC, ta có:

\(\dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AP}{AP+PB}\\ \Leftrightarrow\dfrac{PQ}{400}=\dfrac{150}{150+150}\\ \Leftrightarrow PQ=200\left(m\right).\)