Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BH = 9, AH = 12. Tính các đoạn thẳng còn lại.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABH ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2=9^2+12^2=225\Rightarrow AB=15\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{15^2}{9}=25\) \(\Rightarrow CH=BC-BH=25-9=16\)

\(AC^2=CH.BC=16.25=400\Rightarrow AC=20\)

ĐK: \(\left(x-2\right)\left(x+3\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\x+3\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2\le0\\x+3\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\ge-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le2\\x\le-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le-3\end{matrix}\right.\)

Với điều kiện trên:

\(\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}=5\\ \Rightarrow\left(x-2\right)\left(x+3\right)=25\\ \Rightarrow x^2+x-31=0\)

\(\Delta=1^2-4.1.\left(-31\right)=125\)

Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt: \(x_1=\dfrac{-1+5\sqrt{5}}{2};x_2=\dfrac{-1-5\sqrt{5}}{2}\)

Với \(x>0\):

\(D=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\\ =\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\\ =\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\\ =\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\\ \ge2+1=3\)

(Theo bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(D_{min}=3\) đạt được khi \(x=1\)