Hình tự vẽ
a) ΔΔABH vuông tại H có đường cao HD
=> AD.AB = AH2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
ΔΔAHC vuông tại H có đường cao HE
=> AE.AC = AH2 (Hệ thức lượng rong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) => AD.AB = AE.AC (=AH2)
b) ΔΔAHB vuông tại H có đường cao HD
=> 1HD2=1AH2+1BH21HD2=1AH2+1BH2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)
ΔΔAHC vuông tại H có đường cao HE
=> 1HE2=1AH2+1HC21HE2=1AH2+1HC2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)
Từ (3) và (4) => 1HD2+1HE2=1AH2+1HC2+1AH2+1HB2=2AH2+1HC2+1HB21HD2+1HE2=1AH2+1HC2+1AH2+1HB2=2AH2+1HC2+1HB2
c) Kẻ đường cao CM
Xét ΔΔABH và ΔΔCBM có:
ˆAHB=ˆCMB(=90o)AHB^=CMB^(=90o)
Chung ˆABCABC^
=> ΔΔABH ~ ΔΔCBM (g.g)
=> AHAD=BCCMAHAD=BCCM
=> AH.CM = BC.AD (*)
Vì AD.AB = AE.AC (cmt)
=> ADAC=AEABADAC=AEAB
Xét ΔΔADE và ΔΔACB có:
ADAC=AEABADAC=AEAB
Chung ˆBACBAC^
=> ΔΔADE ~ ΔΔACB (c.g.c)
=> DEBC=ADACDEBC=ADAC
=> DE.AC = BC.AD (**)
Từ (*) và (**) => AH.CM = DE.AC
=> DE=AH.CMACDE=AH.CMAC(I)
ΔΔACM vuông tại M => sinA=CMACsinA=CMAC (II)
Từ (I) và (II) => DE = AH.sin A