a) Ta có: \(\angle ABO+\angle ACO=90+90=180\Rightarrow ABOC\) nội tiếp

Vì AB,AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)

\(\Rightarrow AO\bot BC\)

b) Ta có: \(\angle OME=\angle OBE=90\Rightarrow OMBE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle OBM=\angle OEM\)

c) Vì  \(\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)

\(\Rightarrow H\) là trung điểm BC

Tương tự như câu b \(\Rightarrow\angle OFM=\angle OCM\)

mà \(\angle OBM=\angle OCM\) (\(\Delta OBC\) cân tại O)

\(\Rightarrow\angle OFM=\angle OEM\Rightarrow\Delta OFE\) cân tại O có \(OM\bot FE\)

\(\Rightarrow\) M là trung điểm FE

Xét \(\Delta HFM\) và \(\Delta BEM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}MH=MB\\MF=ME\\\angle HMF=\angle BME\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HFM=\Delta BEM\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle HFM=\angle BEM\)

\(\Rightarrow HF\parallel BE\Rightarrow HF\parallel AB\) mà H là trung điểm BC 

\(\Rightarrow F\) là trung điểm BC

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle ACD=\angle AMD=90\)

\(\Rightarrow ACMD\) nội tiếp

b) Ta có: \(\angle KCB+\angle KMB=90+90=180\Rightarrow KCBM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AKC=\angle MBA\)

Ta có: \(\angle NMK=\angle MBA=\angle AKC=\angle MKN\)

\(\Rightarrow\Delta NMK\) cân tại N

c) Vì B và E đối xứng với nhau qua C \(\Rightarrow\) CD là trung trực BE

\(\Rightarrow\angle DEC=\angle DBC=\angle AKC\Rightarrow AKDE\) nội tiếp

a) Ta có: \(\angle BFC=\angle BEC=90\Rightarrow BCEF\) nội tiếp

Gọi I là trung điểm BC

Ta có: \(\Delta BFC\) vuông tại F có I là trung điểm BC \(\Rightarrow IF=IB=IC\)

 \(\Delta BEC\) vuông tại E có I là trung điểm BC \(\Rightarrow IE=IB=IC\)

\(\Rightarrow IE=IF=IB=IC\Rightarrow I\) là tâm (BCEF)

b) Xét \(\Delta MKB\) và \(\Delta MCT:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MKB=\angle MCT\left(BKTCnt\right)\\\angle TMCchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MKB\sim\Delta MCT\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MK}{MC}=\dfrac{MB}{MT}\Rightarrow MK.MT=MB.MC\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MFB\) và \(\Delta MCE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MFB=\angle MCE\left(BCEFnt\right)\\\angle EMCchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MFB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MC}=\dfrac{MB}{ME}\Rightarrow MB.MC=MF.ME\left(2\right)\)

Ta có: \(\angle AFC=\angle ADC=90\Rightarrow AFDC\) nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow ABDE,AEHF\) nội tiếp

Ta có: \(\angle FEI=\angle FEB+\angle BEI=\angle FAH+\angle EBI\) (\(\Delta EBI\) cân tại I)

\(=\angle FAH+\angle EAD=\angle BAC=\angle BDF\) (AFDC nội tiếp)

\(\Rightarrow FDIE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle MDF=\angle MEI\)

Xét \(\Delta MFD\) và \(\Delta MIE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MDF=\angle MEI\\\angle EMIchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MFD\sim\Delta MIE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MI}=\dfrac{MD}{ME}\Rightarrow MD.MI=MF.ME\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow MD.MI=MK.MT\)

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với NS cắt AB,AD lần lượt tại J và L 

Vì \(CJ\parallel NS\) và \(NS\bot IH\Rightarrow CJ\bot IH\) mà \(CD\bot HL\)

\(\Rightarrow I\) là trực tâm tam giác CHL \(\Rightarrow LI\bot HC\) mà \(AJ\bot CH\)

\(\Rightarrow IL\parallel BJ\) mà I là trung điểm BC \(\Rightarrow L\) là trung điểm CJ

mà \(CJ\parallel NS\) \(\Rightarrow G\) là trung điểm NS (dùng Thales để biến đổi thôi,bạn tự chứng minh nha)

a) Vì MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow\angle MAB=\angle MCA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MAB=\angle MCA\\\angle AMCchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MAB\sim\Delta MCA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Rightarrow MA^2=MB.MC\)

b) Vì \(DE\parallel AM\) và \(AM\bot AO\) (tiếp tuyến) \(\Rightarrow DE\bot AO\)

\(\Rightarrow\angle OAD+\angle ADE=90\)

Ta có: \(\angle OAD=\dfrac{180-\angle AOC}{2}\) (\(\Delta OAC\) cân tại O) \(=90-\dfrac{1}{2}\angle AOC\)

\(=90-\angle ABC\)

\(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\Rightarrow BCDE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle BEC=\angle BDC=90\)

\(\Rightarrow\) CE là đường cao

c) Vì N là điểm chính giữa cung BC \(\Rightarrow\angle BAN=\angle CAN\)

\(\Rightarrow AN\) là phân giác

Ta có: AI là phân giác \(\angle BAD\Rightarrow\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{AB}{AD}\left(1\right)\)

AK là phân giác \(\angle CAE\Rightarrow\dfrac{KC}{KE}=\dfrac{AC}{AE}\left(2\right)\)

Xét \(\Delta DAB\) và \(\Delta EAC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AEC=\angle ADB=90\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DAB\sim\Delta EAC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{KC}{KE}\)

Theo đề: \(\dfrac{IB}{ID}.\dfrac{KC}{KE}=\dfrac{IB}{ID}+\dfrac{KC}{KE}\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AD}\right)^2=2\dfrac{AB}{AD}\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow cosBAC=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle BAC=60\)

Vậy tam giác ABC có \(\angle BAC=60\) thì \(\dfrac{IB}{ID}.\dfrac{KC}{KE}=\dfrac{IB}{ID}+\dfrac{KC}{KE}\)

Kẻ đường cao AD.

Theo đề: \(cotB=3cotC\Rightarrow\dfrac{DB}{AD}=3.\dfrac{CD}{AD}\Rightarrow DB=3CD\)

\(\Rightarrow BC=4CD\) mà \(BC=2CM\Rightarrow CM=2CD\left(1\right)\)

Vì \(BD=3CD\Rightarrow BD>CD\Rightarrow AB>AC\)

\(\Rightarrow D\) nằm giữa M và C (2) 

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow D\) là trung điểm MC 

mà \(AD\bot CM\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại A \(\Rightarrow AM=AC\)

chắc ý bạn là \(\left(n,10\right)=1\).

Vì \(\left(n,10\right)=1\Rightarrow n⋮̸2\) và \(n⋮̸5\)

Vì \(n⋮̸2\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\)

\(\)\(\Rightarrow n^4-1=\left(2k+1\right)^4-1=16k^4+32k^3+24k^2+8k+1-1\)

\(=16k^4+32k^3+24k^2+8k⋮8\)

Vì \(n⋮̸5\Rightarrow n\in\left\{5t+1,5t+2,5t+3,5t+4\right\}\)

\(TH_1:n=5t+1\Rightarrow\left(5t+1\right)^4-1=625t^4+500t^3+150t^2+20t+1-1\)

\(=625t^4+500t^3+150t^2+20t⋮5\)

Tương tự cho các trường hợp khác thì ta được \(n^4-1⋮5\)

mà \(\left(5,8\right)=1\Rightarrow n^4-1⋮40\)

có cùng số nguyên tố với 10 là như thế nào vậy bạn

1. \(\dfrac{2}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{4-3}=4+2\sqrt{3}\)

2. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

3. \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{7}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}\)

\(=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\)

4. \(\dfrac{1}{5-2\sqrt{6}}=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+2\sqrt{6}\right)}=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{5^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{25-24}\)

\(=5+2\sqrt{6}\)

5. \(\dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-1}=\dfrac{3\sqrt{5}\left(2\sqrt{5}+1\right)}{\left(2\sqrt{5}-1\right)\left(2\sqrt{5}\right)+1}=\dfrac{30+3\sqrt{5}}{\left(2\sqrt{5}\right)^2-1^2}=\dfrac{30+3\sqrt{5}}{20-1}\)

\(=\dfrac{30+3\sqrt{5}}{19}\)

6. \(\dfrac{12}{3-\sqrt{3}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{4\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(\dfrac{12+4\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^2-1^2}=\dfrac{2\left(6+2\sqrt{3}\right)}{3-1}=6+2\sqrt{3}\)

7. \(\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{5\sqrt{10}-5\sqrt{6}}{\left(\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\dfrac{5\sqrt{10}-5\sqrt{6}}{5-3}=\dfrac{5\sqrt{10}-5\sqrt{6}}{2}\)

8. \(\dfrac{18}{\sqrt{7}-1}=\dfrac{18\left(\sqrt{7}+1\right)}{\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7}+1\right)}=\dfrac{18\left(\sqrt{7}+1\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^2-1^2}=\dfrac{18\left(\sqrt{7}+1\right)}{7-1}\)

\(=3\left(\sqrt{7}+1\right)=3\sqrt{7}+3\)

9. \(\dfrac{9}{2\sqrt{3}-3}=\dfrac{9\left(2\sqrt{3}+3\right)}{\left(2\sqrt{3}-3\right)\left(2\sqrt{3}+3\right)}=\dfrac{9\left(2\sqrt{3}+3\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^2-3^2}=\dfrac{9\left(2\sqrt{3}+3\right)}{12-9}\)

\(3\left(2\sqrt{3}+3\right)=6\sqrt{3}+9\)

10. \(\dfrac{1}{2\sqrt{3}-3}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{\left(2\sqrt{3}-3\right)\left(2\sqrt{3}+3\right)}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{\left(2\sqrt{3}\right)^2-3^2}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{12-9}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\)

11. \(\dfrac{3}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}=\dfrac{3\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{3\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=\dfrac{3\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{8-5}=2\sqrt{2}+5\)

12. \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{-1}\)

\(=-3-2\sqrt{2}\)

13. \(\dfrac{\sqrt{3}+2}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}=\dfrac{7+4\sqrt{3}}{4-3}=7+4\sqrt{3}\)

14. \(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}{3^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}=\dfrac{14+6\sqrt{5}}{9-5}\)

\(=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\)

15. giống câu 5

16. \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}-4}=\dfrac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(2\sqrt{5}+4\right)}{\left(2\sqrt{5}-4\right)\left(2\sqrt{5}+4\right)}=\dfrac{14+6\sqrt{5}}{\left(2\sqrt{5}\right)^2-4^2}=\dfrac{14+6\sqrt{5}}{4}\)

\(=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\)