a) Ta có:

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-m\right)^2-4.1.\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Do phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Theo định lý Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-m\right)}{1}=m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{1}=m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1=2x_2\), thay vào (1) ta có:

\(2x_2+x_2=3\Leftrightarrow3x_2=m\Leftrightarrow x_2=\dfrac{m}{3}\)

\(\Rightarrow x_1=2x_2=\dfrac{2m}{3}\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m}{3};x_2=\dfrac{m}{3}\) vào (2) ta có:

\(\dfrac{2m}{3}.\dfrac{m}{3}=m-1\)

\(\Leftrightarrow2m^2=9m-9\)

\(\Leftrightarrow2m^2-9m+9=0\)    (*)

\(\Delta_m=\left(-9\right)^2-4.2.9=9\)

Phương trình (*) có 2 nghiệm:

\(m_1=\dfrac{-\left(-9\right)+\sqrt{9}}{2.2}=3\)

\(m_2=\dfrac{-\left(-9\right)-\sqrt{9}}{2.2}=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m=3;m=\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1=2x_2\)

Xem lại đề nhé em!
 

\(\dfrac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{15}-\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt{5}}{\left(\sqrt{15}-\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{3}-1\right)}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}-1\right)}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt{5}}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\)

=\(\dfrac{1.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)

2) Với \(x>0;x\ne4;x\ne9\), ta có:

A = \(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\dfrac{2x}{9-x}\right):\left(\dfrac{x-4}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\left[\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{2x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right]:\left[\dfrac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\right]\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}-2x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{x-4-2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x-3}\right)}\)

\(=\dfrac{-x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-2\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-2\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{-x}{x-2\sqrt{x}+2}\)

1) So sánh:

N = \(\dfrac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)}{\sqrt{5}+1}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)=1\)

M = \(\sqrt{18}-\sqrt{8}\)

\(=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{2}\)

Ta có: \(1=\sqrt{1}\)

Mà 1 < 2

\(\Rightarrow\sqrt{1}< \sqrt{2}\)

Hay 1 \(< \sqrt{2}\)

Vậy N < M
 

Gọi x (m) là chiều dài thửa đất (x > 0)

\(\Rightarrow\) Chiều rộng thửa đất là 99 - x (m)

Do diện tích thửa đất là 2430 m² nên ta có phương trình:

\(x.\left(99-x\right)=2430\)

\(\Leftrightarrow99x-x^2=2430\)

\(\Leftrightarrow x^2-99x+2430=0\)

\(\Delta=\left(-99\right)^2-4.1.2430=81\)

Phương trình có hai nghiệm:

\(x_1=\dfrac{99+9}{2}=54\) (nhận)

\(x_2=\dfrac{99-9}{2}=45\) (nhận)

Với x = 54 \(\Rightarrow\) chiều dài là 54, chiều rộng là 99 - 54 = 45 thỏa mãn

Với x = 45 \(\Rightarrow\) chiều dài là 45, chiều rộng là 99 - 45 = 54 (vô lý vì chiều dài không nhỏ hơn chiều rộng)

Vậy chiều dài thửa đất là 54 m, chiều rộng là 45 m.

Độ dài đường sinh l:

\(l=\dfrac{S_{xq}}{\pi r}=\dfrac{65\pi}{5\pi}=13\) (cm)

Chiều cao hình nón:

\(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\) (cm)

Thể tích hình nón:

\(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\pi.5^2.12=100\pi\) cm³

Câu D đúng

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{ACB}=\widehat{ABD}\) (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta ADB\) (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=AC.AD\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Khi đó tam giác đã cho là tam giác đều