Biết \(tan\alpha=2.\) Tính \(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\)

Cho \(sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{7}{5}\). Tính \(tan\alpha\)

Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A, đường cao AH

\(AB.AC=AH.BC=6.13=78\)

\(\rightarrow AC=\dfrac{78}{AB}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A

\(\rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\left(Pytago\right)\)

\(\rightarrow AB^2+\left(\dfrac{78}{AB}\right)^2=13^2\)

\(\rightarrow AB^2+\dfrac{6084}{AB^2}=169\)

\(\rightarrow AB^4+6084=169AB^2\)

\(\rightarrow AB^4-169AB^2+6084=0\)

Đặt \(t=AB^2>0\). Phương trình trở thành:

\(t^2-169t+6084=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-117t-52t+6084=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-117\right)-52\left(t-117\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-52\right)\left(t-117\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-52=0\\t-117=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=52\\t=117\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AB^2=52\\AB^2=117\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\rightarrow AC=\dfrac{78}{2\sqrt{13}}=3\sqrt{13}\\AB=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\rightarrow AC=\dfrac{78}{3\sqrt{13}}=2\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

Vậy hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \(3\sqrt{13}\) và \(2\sqrt{13}\)