Đề đúng là: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\). Bạn tự vẽ hình nhé.

(a) Theo đề: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow AC=\dfrac{5}{3}AH\)

Ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+\left(\dfrac{5}{3}AH\right)^2\Rightarrow BC=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)

Lại có: \(AB^2=BC.HB\Leftrightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\)

Ta cũng có: \(AH^2=HB.HC=HB\left(BC-HB\right)=BC.HB-HB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\cdot\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}-\left(\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\right)^2\)

\(=15^2-\dfrac{15^4}{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)

\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Thay vào tính được: \(HB=9\left(cm\right);BC=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HB=25-9=16\left(cm\right)\)

(b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H:BE.AB=HB^2\Leftrightarrow BE=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Tương tự, \(\Delta AHC\) vuông tại \(H:CF.AC=HC^2\Leftrightarrow CF=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(BC.BE.CF=\left(\dfrac{AB.AC}{AH}\right)\cdot\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(=\dfrac{HB^2.HC^2}{AH}=\dfrac{\left(HB.HC\right)^2}{AH}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH}=AH^3\left(đpcm\right)\)

Những bài như này là dạng toán theo quy luật ấy. Bạn biểu diễn số cam còn lại qua từng ngày theo ẩn số rồi suy ra quy luật chung của dãy số, xong gán vào yêu cầu cuối của đề.

Ở đây, người ta yêu cầu tìm số ngày nên mình gọi một ẩn bất kì (chữ cái), mình chọn \(k\). Do là số ngày nên \(k\) là số tự nhiên khác 0 hay \(k\in N\text{*}\).

Thay vì thay trực tiếp số cam ban đầu là \(5120\) của đề thì mình gọi nó là ẩn \(n\) (để một lát tìm quy luật ấy).

Những chữ cái như: \(N_1,S_1,N_2,S_2,...\) là mình gọi tên cho phần trình bày gọn hơn thôi.

Bắt đầu bạn tìm quy luật. Quy luật cần tìm là số cam còn lại sau một ngày bán bất kì.

Bắt đầu với ngày 1, tìm số cam còn lại = Số cam ban đầu - Số cam đã bán. Mà số cam đã bán theo đề bằng một nửa hay bằng \(\dfrac{1}{2}\) số cam còn lại. Ở đây, ngày 1, số cam còn lại là số cam ban đầu, nên số cam đã bán = \(\dfrac{1}{2}\) số cam ban đầu. Tìm được số cam đã bán thì tìm được số cam còn lại sau ngày 1.

Tiếp theo với ngày 2, số cam còn lại sau ngày 2 = Số cam còn lại sau ngày 1 - số cam đã bán trong ngày 2. Tương tự, số cam đã bán trong ngày 2 = \(\dfrac{1}{2}\) số cam còn lại sau ngày 1. Thay vào thì tìm được số cam còn lại sau ngày 3.

Tiếp tục với ngày 3, số cam còn lại sau ngày 3 = Số cam còn lại sau ngày 2 - số cam đã bán trong ngày 3.

Tương tự... vâng vâng... Từ đó, bạn tìm được quy luật, số cam còn lại sau một ngày nào đó là một biểu thức có ẩn \(k\).

Đến ngày \(k\) (ngày cần tìm), dùng biểu thức vừa tìm được theo quy luật, thay vào đề. Ở đây, biểu thức quy luật mình tìm được là \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^kn\) (số cam còn lại sau \(k\) ngày thỏa mãn). Theo đề, ông Bình chỉ còn lại \(20\) quả cam nên: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^kn=20\). Thay \(n=5120\) vào, rồi tìm \(k\) (bạn có thể sử dụng máy tính hoặc kiến thức số lũy thừa của 2 để tìm nhé).

Mong mình giúp được bạn ^^.

(a) Xét ô tô thứ nhất: \(t_{11}=t_{12}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{s_{11}}{v_1}=\dfrac{s_{12}}{v_2}\Leftrightarrow s_{12}=\dfrac{v_2}{v_1}s_{11}=\dfrac{75}{50}s_{11}=\dfrac{3}{2}s_{11}\)

Mà: \(t_{11}=\dfrac{1}{2}t_1\Leftrightarrow\dfrac{s_{11}}{v_1}=\dfrac{1}{2}t_1\Leftrightarrow s_{11}=\dfrac{1}{2}v_1t_1=\dfrac{1}{2}\cdot50t_1=25t_1\)

\(\Rightarrow s_{12}=\dfrac{3}{2}s_{11}=\dfrac{3}{2}\cdot25t_1=\dfrac{75}{2}t_1\)

Lại có: \(s=s_1+s_2=25t_1+\dfrac{75}{2}t_1=\dfrac{125}{2}t_1\)

Suy ra thời gian ô tô thứ nhất đi là: \(s=\dfrac{125}{2}t_1\Leftrightarrow t_1=\dfrac{2}{125}s\)

Xét ô tô thứ hai: \(t_2=t_{21}+t_{22}\)

\(=\dfrac{s_{21}}{v_1}+\dfrac{s_{22}}{v_2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{50}+\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{75}=\dfrac{1}{60}s\)

Ta xét hiệu: \(t_1-t_2=\dfrac{2}{125}s-\dfrac{1}{60}s=-\dfrac{1}{1500}s< 0\)

\(\Rightarrow t_1< t_2\) nên ô tô thứ nhất đến đích trước.

(b) Theo đề: \(t_2-t_1=\dfrac{2}{60}=\dfrac{1}{30}\left(h\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{60}s-\dfrac{2}{125}s=\dfrac{1}{30}\Rightarrow s=\dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{1}{60}-\dfrac{2}{125}}=50\left(km\right)\)

(a) \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\dfrac{x^2-5x+9}{x-3}\in Z\)

Ta có: \(\dfrac{x^2-5x+9}{x-3}\left(x\ne3\right)=\dfrac{x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)+3}{x-3}=x-2+\dfrac{3}{x-3}\)nguyên khi và chỉ khi: \(\left(x-3\right)\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=1\\x-3=-1\\x-3=3\\x-3=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=2\\x=6\\x=0\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(x\in\left\{0;2;4;6\right\}\).

(b) \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\dfrac{2x^3-x^2+6x+2}{2x-1}\in Z\left(x\ne\dfrac{1}{2}\right)\)

Ta có: \(\dfrac{2x^3-x^2+6x+2}{2x-1}=\dfrac{x^2\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)+5}{2x-1}=x^2+3+\dfrac{5}{2x-1}\)

nguyên khi và chỉ khi: \(\left(2x-1\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=1\\2x-1=-1\\2x-1=5\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\\x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(x\in\left\{-2;0;1;3\right\}\).

\(x^3+2x^2y+xy^2-9x\)

\(=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)\)

\(=x\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)-9\right]\)

\(=x\left[\left(x+y\right)^2-9\right]\)

\(=x\left(x+y+3\right)\left(x+y-3\right)\)

Bài 9.

(a) \(VT=1+tan^2\alpha=1+\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\)

\(=\dfrac{1}{cos^2\alpha}=VP\left(đpcm\right)\)

(b) \(VT=1+cot^2\alpha=1+\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\dfrac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\dfrac{1}{sin^2\alpha}=VP\left(đpcm\right)\)

(c) \(VT=\left(sin\alpha+cos\alpha\right)^2=sin^2\alpha+cos^2\alpha+2sin\alpha.cos\alpha=1+2sin\alpha.cos\alpha=VP\left(đpcm\right)\)

(d) \(VT=\left(tan\alpha+cot\alpha\right)^2=tan^2\alpha+cot^2\alpha+2tan\alpha.cot\alpha\)

\(=tan^2\alpha+cot^2\alpha+2\cdot\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\)

\(=tan^2\alpha+cot^2\alpha+2=VP\left(đpcm\right)\)

(e) \(VT=\dfrac{sin^3x+cos^2x}{sin^2x}=sinx+\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=sinx+cot^2x=VP\left(đpcm\right)\)

(f) \(VT=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}=\dfrac{1+\dfrac{cosx}{sinx}}{1-\dfrac{cosx}{sinx}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{sinx+cosx}{sinx}}{\dfrac{sinx-cosx}{sinx}}=\dfrac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\)

Lại có: \(VP=\dfrac{tanx+1}{tanx-1}=\dfrac{\dfrac{sinx}{cosx}+1}{\dfrac{sinx}{cosx}-1}\)

\(=\dfrac{\dfrac{sinx+cosx}{cosx}}{\dfrac{sinx-cosx}{cosx}}=\dfrac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\)

\(\Rightarrow VT=VP=\dfrac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\left(đpcm\right)\)

(g) \(VT=cos^4x-sin^4x\)

\(=-\left(sin^4x-cos^4x\right)\)

\(=-\left[\left(sin^4x+2sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)-2cos^4x-2sin^2x.cos^2x\right]\)

\(=-\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\right]\)

\(=-\left(1-2cos^2x\right)=2cos^2x-1=VP\left(dpcm\right)\)

(h) \(VT=sin^4x+cos^4x\)

\(=\left(sin^4x+2sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)-2sin^2x.cos^2x\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x\)

\(=1-2sin^2x.cos^2x=VP\left(dpcm\right)\)

Điều kiện: \(x\ge0\).

Ta biến đổi: \(P=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\sqrt{x}+3-8}{\sqrt{x}+3}=1-\dfrac{8}{\sqrt{x}+3}\).

Ta có: \(\sqrt{x}+3\ge3\Rightarrow-\dfrac{8}{\sqrt{x}+3}\ge-\dfrac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow P=1-\dfrac{8}{\sqrt{x}+3}\ge1-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{5}{3}\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-\dfrac{5}{3}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=0\)

Bài 5.2. 

Số tiền bán 1 trong 40 cái áo được lời: \(300000\cdot30\%=90000\left(đồng\right)\)

Suy ra, số tiền lời khi bán 40 cái áo: \(90000\cdot40=3600000\left(đồng\right)\)

Một trong số áo còn lại bán lỗ vốn số tiền: \(300000\cdot10\%=30000\left(đồng\right)\)

Số áo bán bị lỗ vốn số tiền: \(\left(100-40\right)\cdot30000=1800000\left(đồng\right)\)

Số tiền cô Hà thu được sau khi bán 100 cái áo với giá mới: \(3600000-1800000=1800000\left(đồng\right)\).

Số tiền lời: \(1800000-300000=1500000\left(đồng\right)\)

Bài 5.1.

Gọi \(k\) là số ngày ông Bình bán đến khi còn lại 20 quả cam \(\left(k\in N\text{*}\right)\).

Số cam bán trong ngày 1 là: \(N_1=\dfrac{1}{2}n\) (\(n\) là số cam ban đầu với \(n\in N\text{*}\)).

Số cam còn lại sau ngày 1: \(S_1=n-N_1=n-\dfrac{1}{2}n=\dfrac{1}{2}n\)

Số cam bán trong ngày 2 là: \(N_2=\dfrac{1}{2}S_1=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2n\)

Số cam còn lại sau ngày 2: \(S_2=S_1-N_2=\dfrac{1}{2}n-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2n=\left[\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]n\)

\(=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^2}\right)n=\dfrac{2-1}{2^2}n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2n\)

Số cam bán trong ngày 3 là: \(N_3=\dfrac{1}{2}S_2\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3n\)

Số cam còn lại sau ngày 3: \(S_3=S_2-N_3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2n-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3n\)

\(=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\right]n\)

\(=\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{2^3}\right)n=\dfrac{2-1}{2^3}n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3n\)

Tương tự như vậy, số cam còn lại sau ngày \(k\) sẽ là: \(S_k=\left(\dfrac{1}{2}\right)^kn=20\).

Theo đề: \(n=5120\Rightarrow S_k=\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\cdot5120=20\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}\right)^k=\dfrac{1}{256}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^8\)

\(\Leftrightarrow k=8\) (thỏa mãn).

Vậy: Sau 8 ngày thì ông Bình chỉ còn 20 quả cam.

Bài 3.

(a) Thay \(x=1\Rightarrow1>1^3\Rightarrow P\left(1\right)\) sai.

(b) Thay \(x=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{3}>\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\Rightarrow P\left(\dfrac{1}{3}\right)\) đúng.

Bài 4.

(a) Ta có: \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}>0\) (luôn đúng) nên mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: \(\exists x\in R:x^2-x+1\le0\).

(b) Ta có: \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\left(x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=x+1\Leftrightarrow x+1=x+1\) (đúng với mọi \(x\ne1\)) nên mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định: \(\exists x\in R:\dfrac{x^2-1}{x-1}\ne x+1\)

(c) Ta có: \(x^2-4x+4=\left(x-2\right)^2\ge0\) với mọi x nên mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định: \(\forall x\in R:x^2-4x+4\ge0\).

(d) Xét với \(x=2\) thì mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: \(\forall x\in R:x^2\le x\)