Ta có: \(u_{n+1} - u_n - 2 + 8u_{n+1} - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} - u_n - 2 - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} = u_n + 2 + 2\sqrt{4u_n + 1}\) (1)

Đặt \(x_{n}=\sqrt{4u_n + 1}\left(x_{n}\ge0\right)\) , khi đó ta có:

\(4u_{n}=x_{n}^2-1\)

=>\(u_{n}=\frac{x_n^2 - 1}{4}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có: \(u_{n+1} = \frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\)

(1) sẽ trở thành: \(9\left(\frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\right) = \frac{x_n^2 - 1}{4} + 2 + 2x_n\)

=>\(9(x_{n+1}^2 - 1) = x_n^2 - 1 + 8 + 8x_n\)

=>\(9x_{n+1}^2 - 9 = x_n^2 + 8x_n + 7\)

=>\(9x_{n+1}^2 = x_n^2 + 8x_n + 16\)

=>\(9x_{n+1}^2 = (x_n + 4)^2\)

=>\(3x_{n+1}=x_{n}+4\)

=>\(x_{n+1}=\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\)

\(x_1=\sqrt{4u_1 + 1}=\sqrt{4\cdot2+1}=\sqrt{9}=3\)

Đặt \(a=\frac13a+\frac43\)

=>\(\frac23a=\frac43\)

=>a=2

Đặt dãy số phụ \(y_n = x_n - 2\) , ta sẽ có:

\(y_{n+1}=x_{n+1}-2\)

\(=\left(\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\right)-2\)

\(=\frac{1}{3}x_{n}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(x_{n}-2)=\frac{1}{3}y_{n}\)

Do đó: \(\left(y_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội là q=1/3; số hạng đầu là: \(y_1=x_1-2=3-2=1\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(y_{n}\right)\) là:

\(y_n = y_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^{n-1}}\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(x_{n}\right)\) là:

\(x_n = y_n + 2 = \frac{1}{3^{n-1}} + 2 = \frac{2 \cdot 3^{n-1} + 1}{3^{n-1}}\)

\(u_{n}=\frac{\left(2 + \frac{1}{3^{n-1}}\right)^2 - 1}{4}\)

\(=\frac{4 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}} - 1}{4}=\frac{3 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}}}{4}\)

\(=\frac{3 \cdot3^{2n-2} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

\(=\frac{3^{2n-1} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

Theo đề, ta có hệ thức: \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_n = \dfrac{\sum_{k=1}^{n-1} k u_k}{n(n^2-1)} \quad (\forall n \ge 2) \end{cases}\)

=>\(n(n^2-1)u_n = \sum_{k=1}^{n-1} k u_k \quad (1)\)

Với n+1(n>=2) thì ta sẽ có: \((n+1)((n+1)^2-1)u_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} k u_k = \sum_{k=1}^{n-1} k u_k + n u_n\) (2)

Thay (1) vào vế phải của (2), ta được: \((n+1)n(n+2)u_{n+1} = n(n^2-1)u_n + n u_n = n(n^2 - 1 + 1)u_n = n^3 u_n\)

=>\((n+1)(n+2)u_{n+1} = n^2 u_n\)

=>\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)}\)

=>\(u_n = u_1 \cdot \dfrac{u_2}{u_1} \cdot \dfrac{u_3}{u_2} \cdots \dfrac{u_n}{u_{n-1}}\)

=>\(u_n = 2 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \dfrac{k^2}{(k+1)(k+2)}\)

\(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{k^2}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{\left(\prod_{k=1}^{n-1} k\right)^2}{\left(\prod_{k=1}^{n-1} (k+1)\right) \left(\prod_{k=1}^{n-1} (k+2)\right)}\)

\(=\dfrac{((n-1)!)^2}{n! \cdot\dfrac{(n+1)!}{2}}\)

\(=\dfrac{2((n-1)!)^2}{n!(n+1)!}\)

\(=\dfrac{2}{n^2(n+1)}\)

Do đó: \(u_n = 2 \cdot \dfrac{2}{n^2(n+1)} = \dfrac{4}{n^2(n+1)}\)

Ta có: \(u_n^2 + 2019u_n - 2011u_{n+1} + 1 = 0\)

=>\(2011u_{n+1} = u_n^2 + 2019u_n + 1\) (1)

Đặt \(v_n = u_n + 2010\)

=>\(u_{n}=v_{n}-2010\)

Thay vào (1), ta có: \(2011(v_{n+1} - 2010) = (v_n - 2010)^2 + 2019(v_n - 2010) + 1\)

=>\(2011v_{n+1} - 2011 \times 2010 = v_n^2 - 4020v_n + 2010^2 + 2019v_n - 2019 \times 2010 + 1\)

=>\(2011v_{n+1} = v_n^2 - (4020 - 2019)v_n + (2010^2 - 2019 \times 2010 + 2011 \times 2010 + 1)\)

=>\(2011v_{n+1} = v_n^2 - 2001v_n + 2010(2010 - 2019 + 2011) + 1\)

=>\(2011v_{n+1} = v_n^2 - 2001v_n + 2010(2) + 1\)

=>\(2011v_{n+1} = v_n^2 - 2001v_n + 4024021\) , với số hạng đầu tiên là \(v_1 = u_1 + 2010 = 2010 + 2010 = 4020\)

Từ dạng phi tuyến tính trên, ta sẽ xây dựng dãy phụ \(\left(x_{n}\right)\) liên hệ sao cho số hạng tổng quát của tổng \(\frac{1}{v_n}\) thỏa mãn tính chất sai phân:

\(\frac{1}{v_n} = \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_{n+1}}\)

với giá trị cơ sở khởi tạo \(x_1 = \sqrt{2}\) và quy luật chuyển dịch \(x_{n+1} = x_n + a x_n^2\) (với hệ số phù hợp tương ứng dạng bài toán chuẩn).

\(S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{u_i + 2010} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{v_i}\)

\(=\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)+\left(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_3}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)\)

\(=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}\)

Vì dãy \((x_n)\) là dãy tăng và có giới hạn \(\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty\) nên ta có:

\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_{n+1}} = 0\)

=>\(\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Đặt \(a=\sqrt3-\sqrt2\)

=>\(a^2=\left(\sqrt3-\sqrt2\right)^2=5-2\sqrt6\)

=>\(-a^2=2\sqrt6-5\)

\(3a=3\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=3\sqrt3-3\sqrt2\)

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt3-\sqrt2}=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\left(\sqrt3-\sqrt2\right)\left(\sqrt3+\sqrt2\right)}=\sqrt3+\sqrt2\)

Khi đó, ta sẽ có: \(u_{n+1} = a u_n^2 - a^2 u_n + 3a\) (1)

Đặt \(v_n = u_n + \sqrt{2}\)

=>\(u_{n}=v_{n}-\sqrt{2}\)

Thay vào (1), ta có: \(v_{n+1} - \sqrt{2} = a(v_n - \sqrt{2})^2 - a^2(v_n - \sqrt{2}) + 3a\)

=>\(v_{n+1} = a v_n^2 - v_n + \frac{1}{a}\) , với số hạng đầu tiên là \(v_1 = u_1 + \sqrt{2} = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}\)

Đặt \(x_n = v_n - \frac{1}{a}\)

\(x_1 = v_1 - \frac{1}{a} = (\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{2}\)

\(x_{n+1}=v_{n+1}-\frac{1}{a}\)

\(=av_{n}^2-v_{n}\)

\(=v_{n}(av_{n}-1)\)

\(=\left(x_{n}+\frac{1}{a}\right)ax_{n}\)

\(=x_{n}+ax_{n}^2\)

\(v_n = x_n + \frac{1}{a}\)

\(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{x_{n+1} - x_n}{x_n x_{n+1}}\)

\(=\frac{a x_n^2}{x_n(x_n + a x_n^2)}\)

\(=\frac{a x_n}{1 + a x_n}=\frac{1}{x_n + \frac{1}{a}}=\frac{1}{v_n}\)

=>\(\frac{1}{v_n} = \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_{n+1}}\)

\(S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{u_i + \sqrt{2}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{v_i}\)

\(=\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)+\left(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_3}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}\)

Ta có: \(\begin{cases}x_1=\sqrt2>0\\ a=\sqrt3-\sqrt2>0\end{cases}\)

=>(\(x_{n}\) ) là dãy tăng và \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty\)

=>\(\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{n+1}}\right) = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

=>\(\lim \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{u_i + \sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

TA có: \(\begin{cases}\left(1-y)\sqrt{x^2+2y^2}=x+2y+3xy\left(1\right)\right.\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{x^2+2y^2}=2y-x\left(2\right)\end{cases}\)

ĐKXĐ: y>=-1

Đặt \(t=\sqrt{x^2+2y^2}\) (Điều kiện: t>=0)

(2): \(\sqrt{y+1}+\sqrt{x^2+2y^2}=2y-x\)

=>\(t=2y-x-\sqrt{y+1}\)

Thay \(t=2y-x-\sqrt{y+1}\) vào (1), ta được:

\((1-y)(2y - x - \sqrt{y+1}) = x + 2y + 3xy\)

=>\(2x(1+y)=-2y^2-(1-y)\sqrt{y+1}\)

=>\(x=\frac{-2y^2 - (1-y)\sqrt{y+1}}{2(1+y)}\)

=>\(x = \frac{2y^2 + y + 1 - 4y\sqrt{y+1}}{2(2y - \sqrt{y+1})}\)

Đặt \(u=\sqrt{y+1}\) (ĐIều kiện: u>0)

=>\(y+1=u^2\)

=>\(y=u^2-1\)

Ta sẽ có phương trình sau:

\(3u^6 - 4u^5 - 7u^4 + 7u^3 + 6u^2 - 3u - 2 = 0\)

=>\((u-1)^2(u+1)(3u+2)(u^2-u-1)=0\)

mà u>=0

nên \(u^2-u-1=0\)

=>\(u=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

mà u>0

nên \(u=\frac{1+\sqrt5}{2}\)

\(y=u^2-1=\frac{6+2\sqrt5}{4}-1=\frac{6+2\sqrt5-4}{4}=\frac{2+2\sqrt5}{4}=\frac{\sqrt5+1}{2}\)

=>\(x=\frac{\sqrt5-7}{4}\)

Ta có: \(\frac{1}{u_n + 1} = \frac{1}{u_n - 1} - \frac{1}{u_{n+1} - 1}\)

=>\(u_{n+1} - 1 = \frac{u_n^2 - 1}{2}\)

=>\(\frac{1}{u_n - 1} - \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{1}{u_n - 1} - \frac{2}{u_n^2 - 1} = \frac{(u_n + 1) - 2}{u_n^2 - 1} = \frac{u_n - 1}{u_n^2 - 1} = \frac{1}{u_n + 1}\)

\(S_{n}=\left(\frac{1}{u_1 - 1}-\frac{1}{u_2 - 1}\right)+\left(\frac{1}{u_2 - 1}-\frac{1}{u_3 - 1}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{u_n - 1}-\frac{1}{u_{n+1} - 1}\right)\)

\(=\frac{1}{u_1 - 1}-\frac{1}{u_{n+1} - 1}\)

\(=\frac{1}{2-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}\)

=>\(\lim_{}S_{n}=1-0=1\)

Ta có: \(\sin3x=3\cdot\sin x-4\cdot\sin^3x\)

=>\(4\cdot\sin^3x=3\cdot\sin x-\sin3x\)

=>\(\sin^3x=\frac{3\cdot\sin x-\sin3x}{4}=\frac34\cdot\sin x-\frac14\cdot\sin3x\)

Ta sẽ có công thức tổng quát sau:

\(3^{k-1}\sin^3\left(\frac{\alpha}{3^k}\right)=3^{k-1}\cdot\frac{1}{4}\left(3\cdot\sin\left(\frac{a}{3^{k}}\right)-\sin\left(3\cdot\frac{\alpha}{3^k}\right)\right)\)

=>\(3^{k-1}\sin^3 \frac{\alpha}{3^k} = \frac{1}{4}\left(3^k \sin \frac{\alpha}{3^k} - 3^{k-1}\sin \frac{\alpha}{3^{k-1}}\right)\)

Khi k=1 thì \(1 \cdot \sin^3 \frac{\alpha}{3} = \frac{1}{4}\left(3^1 \sin \frac{\alpha}{3} - \sin \alpha\right)\)

Khi k=2 thì \(3 \sin^3 \frac{\alpha}{3^2} = \frac{1}{4}\left(3^2 \sin \frac{\alpha}{3^2} - 3^1 \sin \frac{\alpha}{3}\right)\)

...

Khi k=n thì \(3^{n-1}\sin^3 \frac{\alpha}{3^n} = \frac{1}{4}\left(3^n \sin \frac{\alpha}{3^n} - 3^{n-1}\sin \frac{\alpha}{3^{n-1}}\right)\)

Do đó, ta có: \(1\cdot\sin^3\left(\frac{a}{3}\right)+3\cdot\sin^3\left(\frac{a}{3^2}\right)+\cdots+3^{n-1}\left(\frac{a}{3^{n}}\right)=\frac{1}{4}\left(3^{n}\sin\frac{\alpha}{3^n}-\sin\alpha\right)\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^3-mx+1\)

TH1: m<=0

\(f\left(0\right)=0^3-m\cdot0+1=1\)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-m\cdot\left(-1\right)+1=m\)

Vì f(0)*f(-1)=m<=0

nên phương trình luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-1;0]

TH2: m>0

\(f\left(0\right)=0^3-m\cdot0+1=1\)

\(f(\sqrt{m}) = (\sqrt{m})^3 - m(\sqrt{m}) + 1 = m\sqrt{m} - m\sqrt{m} + 1 = 1\)

\(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^3-mx+1)=-\infty\)

=>luôn tồn tại một số thực âm a đủ nhỏ sao cho f(a)<0

Vì f(0)=1>0

nên hàm số liên tục trên khoảng [a;0] và f(a)*f(0)<0

=>phương trình luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;0)

Do đó: Phương trình ban đầu luôn có nghiệm

ĐKXĐ: -3<=x<=2

Ta có: \(4(x + 1)(\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}) = -x^2 + 12x + 13\)

=>\(4(x+1)(\sqrt{x + 3}+\sqrt{2 - x})+\left(x^2-12x-13\right)=0\)

=>\(4(x+1)(\sqrt{x + 3}+\sqrt{2 - x})+\left(x-13\right)\left(x+1\right)=0\)

=>\((x + 1) \left[ 4(\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}) - (13 - x) \right] = 0\)

TH1: x+1=0

=>x=-1(nhận)

TH2: \(4\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{2-x}\right)-\left(13-x\right)=0\) (1)

Đặt \(t=\sqrt{x+3}+\sqrt{2-x}\)

=>\(t^2=x+3+2-x+2\cdot\sqrt{\left(x+3\right)\left(2-x\right)}=5+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(2-x\right)}\)

=>\(t^2=5+2\cdot\sqrt{-x^2-x+6}\)

(1) sẽ trở thành 4t=13-x

=>x=13-4t

\(-x^2-x+6=-(13-4t)^2-(13-4t)+6\)

\(=-16t^2+108t-176\)

Do đó, ta sẽ có phương trình sau:

\(t^2 = 5 + 2\sqrt{-16t^2 + 108t - 176}\)

=>\(t^2 - 5 = 2\sqrt{-16t^2 + 108t - 176}\)

=>\((t^2 - 5)^2 = 4(-16t^2 + 108t - 176)\) và \(t\ge\sqrt5\)

=>\(t^4 - 10t^2 + 25 = -64t^2 + 432t - 704\) và \(t\ge\sqrt5\)

=>\(t^4+54t^2-432t+729=0\) và \(t\ge\sqrt5\)

=>\((t-3)^2(t^2+6t+81)=0\) và \(t\ge\sqrt5\)

=>t=3

=>x=13-4*3=1(nhận)