Sửa đề: ab>=1

ab>=1

=>ab-1>=0

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

=>\(\frac{1+b^2+1+a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

=>\(\left(a^2+b^2+2\right)\left(ab+1\right)\ge2\left(a^2b^2+a^2+b^2+1\right)\)

=>\(a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)

=>\(ab(a^2+b^2–2ab)–(a^2+b^2–2ab)\ge0\)

=>\(ab\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>\(\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\) (luôn đúng khi ab>=1)

=>ĐPCM

ĐKXĐ: x<>0 và \(\begin{cases}x+\frac{1}{x^2}\ge0\\ x-\frac{1}{x^2}\ge0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^3+1\ge0\\ x^3-1\ge0\end{cases}\)

=>x>=1

\(\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x-\frac{1}{x^2}}>\frac{2}{x}\)

=>\(\left( \sqrt{x + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{x - \frac{1}{x^2}} \right)^2 > \left( \frac{2}{x} \right)^2\)

=>\(\left(x+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x-\frac{1}{x^2}\right)+2\sqrt{\left(x + \frac{1}{x^2}\right)\left(x - \frac{1}{x^2}\right)}>\frac{4}{x^2}\)

=>\(2x+2\sqrt{x^2 - \frac{1}{x^4}}>\frac{4}{x^2}\)

=>\(x + \sqrt{x^2 - \frac{1}{x^4}} > \frac{2}{x^2}\)

=>\(\sqrt{x^2 - \frac{1}{x^4}}>\frac{2}{x^2}-x\)

TH1: \(\frac{2}{x^2}-x\le0\)

=>\(\frac{2 - x^3}{x^2}\le0\)

=>\(x^3\ge2\)

=>\(x\ge\sqrt[3]{2}\)

Khi \(x\ge\sqrt[3]{2}\) thì VT<=0; VT>0

=>Bất phương trình luôn đúng với \(x\ge\sqrt[3]{2}\) (2)

TH2: \(\frac{2}{x^2}-x>0\)

=>\(\frac{2 - x^3}{x^2}>0\)

=>\(x^3<2\)

=>\(x<\sqrt[3]{2}\)

BPT sẽ tương đương: \(x^2 - \frac{1}{x^4} > \left( \frac{2}{x^2} - x \right)^2\)

=>\(x^2 - \frac{1}{x^4} > \frac{4}{x^4} - \frac{4}{x} + x^2\)

=>\(-\frac{1}{x^4} > \frac{4}{x^4} - \frac{4}{x}\)

=>\(\frac{4}{x} > \frac{5}{x^4}\)

=>\(4x^3>5\)

=>\(x^3>\frac54=\frac{10}{8}\)

=>\(x>\frac{\sqrt[3]{10}}{2}\)

=>\(\frac{\sqrt[3]{10}}{2} (1)

Từ (1),(2) suy ra \(S = \left( \sqrt[3]{\frac{5}{4}}; +\infty \right)\)

ĐKXĐ: x∈R

\(\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}=5x+3\)

=>\(\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}-5x-3=0\)

=>\((x + 1)\left(2\sqrt{x^2 + 3} - x^2 - 3\right) + \left(\sqrt[3]{3x^2 + 5} - 2\right) - 2x + 2 = 0\)

\(\sqrt[3]{3x^2 + 5}-2\)

\(=\frac{3x^2 + 5 - 2^3}{\sqrt[3]{(3x^2+5)^2} + 2\sqrt[3]{3x^2+5} + 4}=\frac{3(x^2 - 1)}{\text{A}(x)}=\frac{3(x - 1)(x + 1)}{\text{A}(x)}\) , với A(x)=\(\sqrt[3]{(3x^2+5)^2}+2\sqrt[3]{3x^2+5}+4\)

\(2\sqrt{x^2 + 3}-(x^2+3)\)

\(=\frac{\left\lbrack2\sqrt{x^2 + 3}-(x^2+3)\right\rbrack\left\lbrack2\sqrt{x^2 + 3}+(x^2+3)\right\rbrack}{2\sqrt{x^2 + 3}+(x^2+3)}\)

=\(\frac{4(x^2 + 3) - (x^2 + 3)^2}{2\sqrt{x^2 + 3} + x^2 + 3}\quad\)

\(=\frac{\left(x^2+3\right)\left(4-x^2-3\right)}{2\sqrt{x^2+3}+\left(x^2+3\right)}=\frac{\left(x^2+3\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{2\sqrt{x^2+3}+\left(x^2+3\right)}\)

\((x+1)\left(2\sqrt{x^2 + 3}-x^2-3\right)+\left(\sqrt[3]{3x^2 + 5}-2\right)-2x+2=0\)

=>\(\left(x+1\right)\cdot\frac{\left(x^2+3\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{2\sqrt{x^2+3}+\left(x^2+3\right)}+\frac{3(x - 1)(x + 1)}{\text{A}(x)}-2\left(x-1\right)\) =0

=>(x-1)*G(x)=0

=>x-1=0

=>x=1(nhận)

a: ΔOAB cân tại O

mà OE là đường trung tuyến

nên OE⊥AB tại E và OE là phân giác của góc AOB

Xét (O) có

ΔABI nội tiếp

AI là đường kính

Do đó: ΔABI vuông tại B

=>BA⊥BI

mà OE⊥AB

nên OE//BI

Xét hình thang BEOI có

H,K lần lượt là trung điểm của EB,OI

=>HK là đường trung bình của hình thang BEOI

=>HK//OE//BI

=>HK⊥EB

a: Xét tứ giác DBOM có \(\hat{DBO}=\hat{DMO}=90^0\)

nên DBOM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính DO

=>D,B,O,M cùng thuộc đường tròn đường kính DO

ĐKXĐ: -1<=x<=1

Đặt \(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)

=>\(t^2=1+x+1-x+2\cdot\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=2+2\cdot\sqrt{1-x^2}\)

\(0\le\sqrt{1-x^2}\le1\)

=>\(0\le2\sqrt{1-x^2}\le2\)

=>\(2\le2\sqrt{1-x^2}+2\le4\)

=>2<=t^2<=4

=>\(\sqrt2\) <=t<=2

Ta có: \(t^2=2+2\sqrt{1-x^2}\)

=>\(2\sqrt{1-x^2}=t^2-2\)

=>\(4(1-x^2)=(t^2-2)^2\)

=>\(4-4x^2=t^4-4t^2+4\)

=>\(4x^2=4t^2-t^4\)

=>\(\frac{x^2}{4}=t^2-\frac{t^4}{4}\)

Bất phương trình ban đầu sẽ trở thành: \(t \le 2 - \left(t^2 - \frac{t^4}{4}\right)\)

=>\(t\le2-t^2+\frac{t^4}{4}\)

=>\(\frac{t^4}{4}-t^2-t+2\ge0\)

=>\(t^4-4t^2-4t+8\ge0\)

=>\((t-2)(t-1)(t^2 + 3t + 4) \ge 0\)

mà \(t^2+3t+4=\left(t+\frac32\right)^2+\frac74>0\forall t\)

nên (t-2)(t-1)>=0

=>t>=2 hoặc t<=1

mà \(\sqrt2\le t\le2\)

nên t=2

=>\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2\)

=>\(1+x+1-x+2\cdot\sqrt{1-x^2}=4\)

=>\(2\sqrt{1-x^2}=2\)

=>\(\sqrt{1-x^2}=1\)

=>\(1-x^2=1\)

=>\(x^2=0\)

=>x=0(nhận)

Vận tốc của xe thứ nhất là \(\frac{AB}{6}\) (km/h)

vận tốc của xe thứ hai là \(\frac{AB}{4}\) (km/h)

Tổng vận tốc của hai xe là \(\frac{AB}{6}+\frac{AB}{4}=\frac{2AB}{12}+\frac{3AB}{12}=\frac{5}{12}AB\) (km/h)

Hai xe gặp nhau sau khi đi được: \(AB:\frac{5AB}{12}=AB\cdot\frac{12}{5AB}=\frac{12}{5}=2,4\) (giờ)

=>Hai xe chỉ gặp nhau 1 lần

\(\frac12+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\cdots+\frac{1}{9900}\)

\(=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-2\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{100}\right)\)
\(=1+\frac12+\cdots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}-1-\frac12-\cdots-\frac{1}{50}\)

\(=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{100}\)

Ta có: \(A=\left(\frac12+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\cdots+\frac{1}{9900}\right):\left(\frac{-6}{51}-\frac{6}{52}-\cdots-\frac{6}{100}\right)\)

\(=\frac{\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+100}{-6\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{100}\right)}=\frac{-1}{6}\)

\(x_1^4+x_2^4\)

\(=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2\left(x_1x_2\right)^2\)

\(=\left\lbrack\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right\rbrack^2-2\left(x_1x_2\right)^2\)

Kẻ BH⊥AC và DK⊥AC

=>BH//DK

Xét ΔBHC vuông tại H và ΔDKA vuông tại K có

BC=DA
\(\hat{BCH}=\hat{DAK}\) (hai góc so le trong, BC//DA)

Do đó: ΔBHC=ΔDKA

=>BH=DK và HC=KA

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{HAB}\) chung

Do đó: ΔAHB~ΔAEC

=>\(\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AB=AH\cdot AC\)

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{KAD}\) chung

DO đó: ΔAKD~ΔAFC
=>\(\frac{AK}{AF}=\frac{AD}{AC}\)

=>\(AF\cdot AD=AK\cdot AC\)

\(AB\cdot AE+AF\cdot AD\)

\(=AH\cdot AC+AK\cdot AC=AC\left(AH+AK\right)=AC\left(AH+CH\right)=AC^2=a^2\)