Bài 3:

a: Trên cùng một nửa mặt phăng bờ chứa tia Ox, ta có: \(\hat{xOy}<\hat{xOz}\left(40^0<120^0\right)\)

nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

b: tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

=>\(\hat{xOy}+\hat{yOz}=\hat{xOz}\)

=>\(\hat{yOz}=120^0-40^0=80^0\)

c: On là phân giác của góc xOz

=>\(\hat{xOn}=\hat{zOn}=\frac12\cdot\hat{xOz}=\frac12\cdot120^0=60^0\)

Bài 4:

a: Trên cùng một nửa mặt phăng bờ chứa tia Oy, ta có: \(\hat{yOz}<\hat{yOt}\)

nên tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot

b: tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot

=>\(\hat{yOz}+\hat{zOt}=\hat{yOt}\)

=>\(\hat{zOt}=80^0-30^0=50^0\)

c: Vì \(\hat{yOz}<\hat{zOt}\)

nên Oz không là phân giác của góc yOt

d: \(\hat{yOt}+\hat{yOm}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{yOm}=180^0-80^0=100^0\)

e: On là phân giác của góc yOm

=>\(\hat{mOn}=\frac12\cdot100^0=50^0\)

a: Xét tứ giác AHCD có \(\hat{AHC}=\hat{ADC}=90^0\)

nên AHCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC

Tâm là trung điểm của AC

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(2a\right)^2+a^2=5a^2\)

=>\(AC=a\sqrt5\)

=>\(R=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt5}{2}\)

a: Sửa đề: EK⊥BC

Ta có: \(\hat{DBH}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

\(\hat{ECK}=\hat{ACB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: \(\hat{DBH}=\hat{ECK}\)

Xét ΔDHB vuông tại H và ΔEKC vuông tại K có

DB=CE

\(\hat{DBH}=\hat{ECK}\)

Do đó: ΔDHB=ΔEKC

=>BH=CK

Bài 2:

1: \(4x^2-x+1<0\)

=>\(\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot\frac14+\frac{1}{16}+\frac{15}{16}<0\)

=>\(\left(2x-\frac14\right)^2+\frac{15}{16}<0\) (vô lý)

=>x∈∅

2: \(-3x^2+x+4\ge0\)

=>\(3x^2-x-4\le0\)

=>\(3x^2-4x+3x-4\le0\)

=>(3x-4)(x+1)<=0

=>-1<=x<=4/3

3: \(x^2-x-6\le0\)

=>\(x^2-3x+2x-6\le0\)

=>(x-3)(x+2)<=0

=>-2<=x<=3

Sửa đề: \(M+5x^2y=9x^2y\)

=>\(M=9x^2y-5x^2y=4x^2y\)

Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là x(km/h), y(km/h)

(Điều kiện: x>0;y>0)

Thời gian xe thứ nhất đi từ Dung Quất đến Sa Huỳnh là: \(\frac{120}{x}\) (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi từ Dung Quất đến Sa Huỳnh là: \(\frac{120}{y}\) (giờ)

Xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất 1 giờ nên ta có: \(\frac{120}{x}-\frac{120}{y}=1\)

Vận tốc lúc về của xe thứ nhất là x+5(km/h)

Thời gian về của xe thứ nhất là \(\frac{120}{x+5}\) (giờ)

tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc về đến nơi của xe thứ hai là:

\(\frac{120}{y}+\frac23\left(giờ\right)\)

=>\(\frac{120}{x+5}=\frac{120}{y}+\frac23\)

=>\(\frac{120}{y}=\frac{120}{x+5}-\frac23\)

Ta có: \(\frac{120}{x}-\frac{120}{y}=1\)

=>\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5}+\frac23=1\)

=>\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5}=\frac13\)

=>\(\frac{120x+600-120x}{x\left(x+5\right)}=\frac13\)

=>x(x+5)=1800

=>\(x^2+5x=1800\)

=>\(x^2+5x-1800=0\)

=>(x+45)(x-40)=0

=>x=-45(loại) hoặc x=40(nhận)

\(\frac{120}{y}=\frac{120}{x+5}-\frac23=\frac{120}{40+5}-\frac23=\frac{120}{45}-\frac23=\frac83-\frac23=\frac63=2\)

=>y=60(nhận)

Vậy: vận tốc ban đầu của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là 40(km/h), 60(km/h)

n là số lẻ nên n=2k+1

\(n^4+7\left(7+2n^2\right)\)

\(=n^4+14n^2+49=\left(n^2+7\right)^2\)

\(=\left\lbrack\left(2k+1\right)^2+7\right\rbrack^2=\left\lbrack4k^2+4k+1+7\right\rbrack^2=\left(4k^2+4k+8\right)^2\)

\(=\left\lbrack4k\left(k+1\right)+8\right\rbrack^2\)

Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp

nên k(k+1)⋮2

=>4k(k+1)⋮8

=>4k(k+1)+8⋮8

=>\(\left\lbrack4k\left(k+1\right)+8\right\rbrack^2\) ⋮64

=>\(n^4+7\left(7+2n^2\right)\) ⋮64

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của người đi xe máy là x+20(km/h)

Thời gian người đi xe đạp đi được 60km là: \(\frac{60}{x}\) (giờ)

Thời gian người đi xe máy đi được 60km là: \(\frac{60}{x+20}\) (giờ)

Theo đề, ta có: \(\frac{60}{x}-\frac{60}{x+20}=4\)

=>\(\frac{15}{x}-\frac{15}{x+20}=1\)

=>\(\frac{15x+300-15x}{x\left(x+20\right)}=1\)

=>x(x+20)=300

=>\(x^2+20x=300\)

=>\(x^2+20x-300=0\)

=>(x+30)(x-10)=0

=>x=-30(loại) hoặc x=10(nhận)

Vậy: vận tốc của người đi xe đạp là 10(km/h)

vận tốc của người đi xe máy là 10+20=30(km/h)

\(\left(6x-5y-16\right)^2+x^2+y^2+2xy+2x+2y+2\)

\(=\left(6x-5y-16\right)^2+\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+1\)

\(=\left(6x-5y-16\right)^2+\left(x+y+1\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}6x-5y-16=0\\ x+y+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x-5y=16\\ 6x+6y=-6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x-5y-6x-6y=16+6\\ x+y=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-11y=22\\ x+y=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-2\\ x=-1-y=-1-\left(-2\right)=-1+2=1\end{cases}\)

Ta có: \(\left\vert{}\frac{z + 1}{i - z}\right\vert{}=1\)

=>\(\vert{}z+1\vert{}=\vert{}i-z\vert{}\) (1)

Đặt z=x+y*i

Thay vào (1), ta được: \(\vert{}x+1+yi\vert{}=\vert{}-x+(1-y)i\vert{}\)

=>\((x+1)^2+y^2=x^2+(1-y)^2\)

=>\(x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 + 1 - 2y + y^2\)

=>2x=-2y

=>x=-y

=>y=-x

=>tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình (1) là đường thẳng x+y=0

Ta có: \(\left\vert{}\frac{z - i}{2 + z}\right\vert{}=1\left(2\right){}\)

=>\(\vert{}z-i\vert{}=\vert{}z+2\vert\)

=>\(\vert{}x+(y-1)i\vert{}=\vert{}x+2+yi\vert\)

=>\({}x^2+(y-1)^2=(x+2)^2+y^2\)

=>\(x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2\)

=>-2y+1=4x+4

=>4x+2y+3=0

=>Như vậy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình (2) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0

Số phức z thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình khi và chỉ khi tọa độ điểm biểu diễn của nó là nghiệm của hệ phương trình:\(\begin{cases} x + y = 0 \\ 4x + 2y + 3 = 0 \end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=-x\\ 4x-2x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x=-3\\ y=-x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac32\\ y=\frac32\end{cases}\)

=>Có 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.