Tìm số dư khi chia A=1994\(^{2005}\) cho 7

Chứng minh:A= \(11^{10}-1\) chia hết cho 100

Cho ba đường tròn (I),(K),(L) có bán kính bằng nhau và bằng 2cm. Biết (I) tiếp xúc (K); (K) tiếp xúc (L) và IM,NP là tiếp tuyến của (L). Tính độ dài MN.

*Hướng dẫn : dùng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho (O) và dây BC cố định (BC không đi qua (O)).Lấy điểm A thuộc (O) sao cho A và O thuộc cùng phía so với BC và AB=AC. Lấy M là trung điểm của AB, vẽ MH vuông góc với AC tại H. Chứng minh H nằm trên một đường tròn cố định khinA di động trên (O)

*Hướng dẫn: Kẻ đường kính CD của (O). lấy N là trung điểm của BD=>N cố định. Gọi I là trung điểm của NC=> I cố định

Cho ΔABC nội tiếp (O;R). Gọi S là diện tích ΔABC.Chứng minh rằng \(S\le\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}\)

*Hướng dẫn : Chú ý: Với a,b,c,d không âm ta có:\(\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=d

Vẽ AH⊥BC tại H, OK⊥BC tại K. Đặt OK=x. Tính BC theo R và x. \(AH\le AK\le AO+OK\)

Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a, Chứng minh 5 điểm O,K,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn. b, Chứng minh OI.OM=R\(^2\) ; OI.IM=IA\(^2\) . c, Chứng minh OAHB là hình thoi.d, Chứng minh ba điểm O,H,M thẳng hàng. e, Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Cho tam giác cân ABC (AB=AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàn tiếp góc A, O là trung điểm của IK. a, Chứng minh B,C,I,K cùng nằm trên một đường tròn

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB=AC=20cm, BC=24cm

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

a, \(\left(x+y+1\right)^2=3\left(x^2+y^2+1\right)\)

b, \(5\left(x+y+z+t\right)+10=2xyzt\)

c, \(x^6+3x^3+1=y^4\)

Giải phương trình nghiệm nguyên \(2\left(x+y\right)+xy=x^2+y^2\)