Cho hình thang ABCD (AB//CD), đáy lớn AB. M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD,BC,AC,BD.

a) Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q nằm trên một đường thẳng.

b) Cho AB=a, CD=b (với a>b). Tính độ dài các đoạn thẳng MN,PQ.

Cho góc xOy và tia phân giác Ot. M nằm trong góc xOy, A,B đối xứng với M qua Ox và Oy. Vẽ MH vuông góc với Ot cắt trung điểm của AB tại N. Chứng minh M và N đối xứng nhau qua Ot.

Một người bắt đầu đi từ A đến B lúc 7h. Cứ đi 15 phút lại nghỉ 5 phút. Vận tốc chặng 1 là v₁=10km/h, chặng 2 là v₂=20km/h, chặng 3 là 30km/h,... Biết quãng đường AB là 100km. Tính vận tốc trung bình trên toàn bộ quãng đường? Xe tới B lúc mấy giờ?

Hai người cùng xuất phát cung lúc từ 2 điểm A và B cách nhau 40km và đi theo cung 1 chiều từ A đến B. Người thứ nhất đi xe máy từ A với vận tốc v₁=30km/h. Người thứ 2 đi xe đạp từ B với vận tốc v₂=10km/h. Coi chuyển động của 2 xe là đều. Hỏi sau bao lâu 2 người cách nhau 10km?

Một ô tô chuyển động trên đường thẳng AB. Tính vận tốc trung bình của xe. Biết trong nửa phần đầu đoạn đường AB xe đi với vận tốc 60km/h. Trong nửa đoạn đường còn lại ô tô đi nửa thời gian đầu với vận tốc 40km/h và nửa thời gian sau 20km/h.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A=3(x-3)(x+7)+(x-4)²+48

Tìm số tự nhiên n để biểu thức 5n³-9n²+15n-27 nhận giá trị là số nguyên tố.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) R=bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b)

b) A=(a+b)(b+c)(c+a)+abc

c) B=x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²+2xyz

Chứng tỏ rằng đa thức A=(x²+1)⁴+9(x²+1)³+21(x²+1)²-x²-31 luôn không âm với mọi giá trị của biến x.