Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz=2. Chứng minh: \(\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\le\frac{1}{2}\)

1. Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\). CMR phương trình \(\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+nx+m\right)=0\) luôn có nghiệm.

2. Giai hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y=1\\\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}+4x=5\end{matrix}\right.\)

1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A=\(\frac{x^4+x^2+x+2}{x^4+3x^3+7x^2+3x+6}\) nhận giá trị là một số nguyên.

2) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=4. Tìm GTNN của của biểu thức: P=\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+3\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+3\sqrt{a}}\)

Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a+b+c=3, tìm GTNN của biểu thức S=(a² + 2)(b² + 2)(c² + 2)

Cho biểu thức A=\(\left(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\right)-\left(a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}\right)\)với a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30

Cho hai số nguyên dương x, y với x>1 và thỏa mãn điều kiện 2x² - 1=y¹⁵. Chứng minh rằng x chia hết cho 15.

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn y²+y=x⁴+x³+x²+x.