tìm các cặp số (a,b) thỏa mãn biểu thức:\(\sqrt{a+b-2011}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{2011}\)

cho x>0 , y> 0 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\). cmr:\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le1\)

cho đường tròn tâm O, đường kính aB. trên tiếp tuyên Ax với đường tròn tâm O lấy điểm C sao cho AC=AB. đường thẳng BC cắt đường tròn tâm O tại D, M là một điểm thay dổi trên đoạn AD. gọi N và P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ Mxuống AB và AC, H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống đường thẳng PD.

a) xác định vị trí của M để tam giác AHB cá diện tích lớn nhất

b)cm khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm nhất đinhk

cho a,b,c >0 và a.b.c=1. tìm gtnn của

P=\(\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ca}{b^2c+b^2a}+\dfrac{ab}{c^2a+c^2b}\)

cho \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=6\\a^2+b^2+c^2=12\end{matrix}\right.\)

hãy tính giá trị của biểu thức

\(P=\left(a-3\right)^{2018}+\left(b-3\right)^{2018}+\left(c-3\right)^{2018}\)

tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của pt: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7}\)

a) giải phương trình :

\(x^4+2x^3-4x^2-5x-6=0\)

cho biểu thức

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}\right):\left(1+\dfrac{x+y+2xy}{1-xy}\right)\)

a) rút gọn biểu thức P

b)tính giá trị của biểu thức P với x=\(\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}\)

cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R ( M không trùng với A,B ). trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB kẻ tiếp tuyến Ax. đường thẳng BM cắt x tại I tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E cắt IB tại F, đường tẳng BE cắt AI tại H , cắt AM tại K.

a) cm 4 điểm F,E,K,M cùng nằm trên cùng 1 đường tròn( ko cần chứng minh)

b) cm. HF vuông góc với BI

c) xác định vị trí của M trên nửa đường tròn tâm O để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R

cmr:\(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n⋮210\forall n\in N\)