\(\left(x^2-3x+1\right)\left(21+3x-x^2\right)=121\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x+1\right)\left[22-\left(x^2-3x+1\right)\right]=121\)

Đặt \(x^2-3x+1=a\)

\(\Rightarrow a\left(22-a\right)=121\)

\(\Leftrightarrow a^2-22a+121=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-11\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=11\)

\(\Rightarrow x^2-3x+1=11\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{-2;5\right\}\)

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=4^2=16\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge8\)

• Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{4^2}{4}=4\)

• Suy ra, ta có: \(P=x^2+y^2+\dfrac{33}{xy}\ge8+\dfrac{33}{4}=\dfrac{65}{4}\)

• Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{65}{4}\Leftrightarrow x=y=2\)

Tổng tăng thêm:    4514-1079,69= 3434,31

Bỏ dấu phẩy phân thập phân ban đầu => tổng tăng thêm 99 lần

Xét: 3434,31 : 99= 34,69

Thử lạị đúng với kết quả 

Tick nhé 

Câu a:

Xét tứ giác ABCN có: \(\widehat{BAC}=\widehat{CNB}=90^0\)

⇒ ABCN nội tiếp

Câu b:

\(M,C,D,N\in\left(O\right)\)

⇒ MCDN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DCM}+\widehat{DNM}=180^0\)

mà \(\widehat{DNM}+\widehat{BNA}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)

⇒ \(\widehat{DCM}=\widehat{BNA}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{BNA}\) (ABCN nội tiếp)

⇒ \(\widehat{DCM}=\widehat{ACB}\)

⇒ CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

Câu c:

Vì ABCN nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180^0\)

mà \(\widehat{DNC}+\widehat{ANC}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{DNC}\)

mà \(\widehat{DEC}=\widehat{DNC}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DC}\text{ của }\left(O\right)\right)\)

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{DEC}\) tại vị trí đồng vị

⇒ AB // DE

⇒ ABED là hình thang

Câu d:

• Theo gt, ta có: M đx K qua E

mà MK ⊥ BC tại E

⇒ BC là đường trung trực của MK

⇒ \(\widehat{BKM}=\widehat{BMK}\) và \(\widehat{CKM}=\widehat{CMK}\)

• Tương tự, ta cũng có AB là đường trung trực của IM

⇒ \(\widehat{BIA}=\widehat{BMA}\)

• Xét tứ giác BICK có:

\(\widehat{BIC}+\widehat{BKC}=\widehat{BMA}+\widehat{BKM}+\widehat{CKM}=\widehat{BMA}+\widehat{BMK}+\widehat{CMK}=180^0\)

⇒ BICK nội tiếp

• Gọi (O') là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BICK

⇒ O' thuộc đường trung trực của BC

⇒ O'B nhỏ nhất khi O' là trung điểm của BC

mà O'B = O'C = O'K

⇒ ΔKBC vuông tại K

⇒ \(\widehat{BKC}=\widehat{BMC}=90^0\)

⇒ \(M\equiv A\)

Suy ra đường tròn ngoại tiếp ΔBIK có bán kính R nhỏ nhất khi M trùng A.

Câu a:

• Theo gt, (O') có: \(\widehat{ABD}=90^0\)

⇒ AD là đường kính của (O')

⇒ D, O', A, K thẳng hàng.

• Tương tự, ta cũng có C, O, A, I thẳng hàng.

• Xét tứ giác CKID có: \(\widehat{CKD}=\widehat{DIC}=90^0\)

⇒ Tứ giác CKID nội tiếp

Câu b:

Xét ΔMCD có:

• DK là đường cao

• CI là đường cao

• A = DK \(\cap\) CI

⇒ A là trực tâm của ΔMCD

⇒ MA ⊥ CD

mà AB ⊥ CD

nên theo định lí Thales đảo, ta có: M, A, B thẳng hàng.

Chỉ cần xét 3 tứ giác nội tiếp ABDC, BKDH và CDHI là được rồi.

Câu b:

Ta có: \(\widehat{I_3}+\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=\widehat{IMA}+\widehat{I_1}+\widehat{A_2}\left(=180^0\right)\)

mà \(\widehat{I_2}=\widehat{A_2}\left(\Delta IMA\text{ ~ }\Delta BNI\right)\)

⇒ \(\widehat{I_3}=\widehat{IMA}\)

mà \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

⇒ ΔIAB ∼ ΔMAI (g - g) ∼ ΔNIB

⇒ • IA² = AM . AB
• IB² = NB . AB

Đặt \(P=\dfrac{IA^2}{AB\times AC}+\dfrac{IB^2}{AB\times BC}+\dfrac{IC^2}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AM\times AB}{AB\times AC}+\dfrac{NB\times AB}{AB\times BC}+\dfrac{CM^2-IM^2}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AM}{AC}+\dfrac{NB}{BC}+\dfrac{CM^2-AM\times NB}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AM\times BC+NB\times AC+CM\times CN-AM\times NB}{AC\times BC}\)
(do CM = CN vì ΔICM = ΔICN)

\(=\dfrac{AM\times CN+NB\times AC+CM\times CN}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AC\times CN+NB\times AC}{AC\times BC}=1\)

Vậy ta có đpcm.

Câu a:

Xét ΔICM vuông tại I và ΔICN vuông tại I có:

• IC chung
• \(\widehat{ICM}=\widehat{ICN}\left(\text{do IC là tia phân giác của }\widehat{ACB}\right)\)

⇒ ΔICM ∼ ΔICN (g - c - g)

⇒ • IM = IN
• \(\widehat{IMC}=\widehat{INC}\)

mà \(\widehat{IMC}+\widehat{IMA}=\widehat{INC}+\widehat{INB}\left(=180^0\right)\)

⇒ \(\widehat{IMA}=\widehat{INB}\)

mà \(\widehat{IMA}+\widehat{A_2}+\widehat{I_1}=\widehat{INB}+\widehat{B_2}+\widehat{I_2}\left(=180^0\right)\)

⇒ \(\widehat{A_2}+\widehat{I_1}=\widehat{B_2}+\widehat{I_2}\) (1)

Mặt khác, ΔIAB có: \(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=180^0-\widehat{I_3}=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}\)

mà • \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(\text{do IA là tia phân giác của }\widehat{BAC}\right)\)
• \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(\text{do IB là tia phân giác của }\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{A_2}+\widehat{B_2}=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}\) (2)

Trừ (1) và (2) vế theo vế, suy ra \(\widehat{I_1}-\widehat{B_2}=\widehat{B_2}+\widehat{I_1}\)

⇒ \(2\widehat{I_1}=2\widehat{B_2}\)

⇒ \(\widehat{I_1}=\widehat{B_2}\)

mà \(\widehat{IMA}=\widehat{INB}\)

⇒ ΔIMA ∼ ΔBNI (g - g)

⇒ AM . BN = IM . IN = IM² = IN² (do IM = IN)

Gọi x và y (ngày) lần lượt là thời gian đội 1 và đội 2 làm xong công việc. \(\left(x>y>0\right)\)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\x-y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y+5}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\left(1\right)\\x=y+5\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow6y+6\left(y+5\right)=y\left(y+5\right)\)

\(\Leftrightarrow6y+6y+30=y^2+5y\)

\(\Leftrightarrow y^2-7y-30=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-10\right)\left(y+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=10\left(\text{nhận}\right)\\y=-3\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=y+5=10+5=15\left(\text{nhận}\right)\)

Vậy nếu làm riêng, đội 1 làm mất 15 ngày còn đội 2 làm mất 10 ngày.

\(\left\{{}\begin{matrix}8x^3y^3+27=18y^3\\4x^2y+6x=y^2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2xy+3\right)^3-18xy\left(2xy+3\right)=18y^3\\2x\left(2xy+3\right)=y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{y^2}{2x}\right)^3-18xy\times\dfrac{y^2}{2x}=18y^3\left(2\right)\\2xy+3=\dfrac{y^2}{2x}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(2\right)\Leftrightarrow y^3\left(\dfrac{y^3}{8x^3}-27\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\left(\text{loại}\right)\\y^3=216x^3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=6x\). Thay vào (2)

\(\Rightarrow24x^3+6x=36x^2\)

\(\Leftrightarrow6x\left(4x^2-6x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(\text{loại}\right)\\x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\left(\text{nhận}\right)\\x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}\\y=\dfrac{9-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\left(\text{nhận}\right)\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{4};\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}\right);\left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{4};\dfrac{9-3\sqrt{5}}{2}\right)\)