\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\right)\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge\dfrac{6x}{y}+\dfrac{6y}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-4.\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)

\(^{\left(1\right)}\)đúng \(\Rightarrowđpcm\)

100

a)

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b)

\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4-ab^3+b^4-a^3b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^3-b^3\right)-b\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow1+b+a+ab-ab-2\sqrt{ab}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

d)

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2,\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)

Mặt khác ta có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (hệ quả bất đẳng thức AM-GM)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z;x,y,z>0\)

vẽ hình

65.tick nha

đây

Gọi nồng độ mưối trong dung dịch I là x (%)

Vì nồng độ mưối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ mưối trong dung dịch II là 20 % nên nồng độ muối trong dung dịch II là x-20 (%)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(200.\dfrac{x}{100}_{ }+300.\dfrac{x-20}{100}=\left(200+300\right).\dfrac{33}{100}\)

\(\Leftrightarrow200x+300\left(x-20\right)=16500\)

\(\Leftrightarrow500x=22500\)

\(\Leftrightarrow x=45\left(tmđk\right)\)

Vậy nồng độ muối trong dung dịch I là 45%, nồng độ muối trong dung dịch II là 45-20=25(%)

Gọi quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là :x(km)

Quãng đường An đã đi là 2x

Quãng đường Bình đã đi là \(2x:4=\dfrac{x}{2}\)

Gọi C là chỗ 2 người gặp nhau thì \(BC=\dfrac{x}{2}:2=\dfrac{x}{4}\)

Quãng đường AC là :\(x-\dfrac{x}{4}=\dfrac{3x}{4}\)

Thời gian An đi trên đoạn AC là :\(\dfrac{3x}{4}:4=\dfrac{3x}{16}\left(h\right)\)

Thời gian Bình đi trên đoạn BC là :\(\dfrac{x}{4}:3=\dfrac{x}{12}\left(h\right)\)

Có 20 phút =\(\dfrac{1}{3}\left(h\right)\)

Ta có phương trình :

\(\dfrac{3x}{16}-\dfrac{x}{12}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow9x-4x=16\)

\(\Leftrightarrow5x=16\)

\(\Leftrightarrow x=3,2\left(tmđk\right)\)

Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là 3,2km