Giải phương trình: \(\log_3\left(4^x-1\right)=\log_4\left(3^x+1\right)\)

Xét các số thực a, b thỏa mãn \(\dfrac{1}{4}< b< a< 1\). Biểu thức \(P=\log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)-\log_{\dfrac{a}{b}}\sqrt{b}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi ?

Xét các số thực a, b thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge b^2\\b>1\end{matrix}\right.\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\log_{\dfrac{a}{b}}a+\log_b\dfrac{b}{a}\)

Có bao nhiêu giá trị m nguyên [-10;10] để hàm số y=∣x^3+mx+2∣ có 5 điểm cực trị

Cho phương trình \(\left(1-m\right)\left(x^2+1\right)+2\left(x+1\right)\sqrt{x^2+1}+2x=0\). Biết \((a;b]\) là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó b-a có giá trị là

Biết rằng biểu thức \(A=\sqrt{\cos^2x+2\sqrt{\cos^4x+3\sqrt{\cos^8x+4\sqrt{\cos^{16}x+5\sqrt{...+n\sqrt{\cos^{2^n}x+,,,}}}}}}=a\cos bx\)

Với \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Giá trị của tổng T=a+b là ?

Cho hai hàm số \(y=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}+\frac{x+3}{x+4}\) và \(y=\left|x+1\right|-x+m\) (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của m để \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là ?

Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho cả hai hàm số \(y=\frac{ax+b}{4x+a}\)và \(y=\frac{bx+a}{4x+b}\) đồng biến trên từng khoảng xác định. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+b ?

Cho x, y, z là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn: \(\frac{4\left(3x+1\right)+6\left(y+z\right)}{\left[2\left(x+y\right)+x+z+1\right]\left[2\left(x+z\right)+x+y+1\right]}-x\left(y+z\right)=x^2+yz\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2\left(x+3\right)^2+y^2+z^2-16}{2x^2+y^2+z^2}\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(4x\left(\sqrt{4x-m}-2\right)=x^3+\left(m-8\right)\sqrt{4x-m}\) có hai nghiệm thực phân biệt