3, \(sin^4x+cos^4x+sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{3}{2}=0\)

⇔ \(\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x+\dfrac{1}{2}sin\left(4x-\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{3}{2}=0\)

⇔ \(1-\dfrac{1}{2}sin^22x+\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos4x-\dfrac{3}{2}=0\)

⇔ \(\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos4x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}sin^22x=0\)

⇔ sin2x - sin²2x - (1 + cos4x) = 0

⇔ sin2x - sin²2x - 2cos²2x = 0

⇔ sin2x - 2 (cos²2x + sin²2x) + sin²2x = 0

⇔ sin²2x + sin2x - 2 = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin2x=1\\sin2x=-2\end{matrix}\right.\)

⇔ sin2x = 1

⇔ \(2x=\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

4, cos5x + cos2x + 2sin3x . sin2x = 0

⇔ cos5x + cos2x + cosx - cos5x = 0

⇔ cos2x + cosx = 0

⇔ \(2cos\dfrac{3x}{2}.cos\dfrac{x}{2}=0\)

⇔ \(cos\dfrac{3x}{2}=0\)

⇔ \(\dfrac{3x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

⇔ x = \(\dfrac{\pi}{3}+k.\dfrac{2\pi}{3}\)

Do x ∈ [0 ; 2π] nên ta có \(0\le\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\le2\pi\)

⇔ \(-\dfrac{1}{2}\le k\le\dfrac{5}{2}\). Do k là số nguyên nên k ∈ {0 ; 1 ; 2}

Vậy các nghiệm thỏa mãn là các phần tử của tập hợp 

\(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)

1, \(\left(sinx+\dfrac{sin3x+cos3x}{1+2sin2x}\right)=\dfrac{3+cos2x}{5}\)

⇔ \(\dfrac{sinx+2sinx.sin2x+sin3x+cos3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)

⇔ \(\dfrac{sinx+2sinx.sin2x+sin3x+cos3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)

⇔ \(\dfrac{sinx+cosx-cos3x+sin3x+cos3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)

⇔ \(\dfrac{sinx+cosx+sin3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)

⇔ \(\dfrac{2sin2x.cosx+cosx}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)

⇔ \(\dfrac{cosx\left(2sin2x+1\right)}{1+2sin2x}=\dfrac{2+2cos^2x}{5}\)

⇒ cosx = \(\dfrac{2+2cos^2x}{5}\)

⇔ 2cos²x - 5cosx + 2 = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cosx=2\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

⇔ \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k.2\pi\) , k là số nguyên

2, \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}.\left(1+cot2x.cotx\right)=0\)

⇔ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}.\dfrac{cos2x.cosx+sin2x.sinx}{sin2x.sinx}=0\)

⇔ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}.\dfrac{cosx}{sin2x.sinx}=0\)

⇔ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2cosx}{2cosx.sin^4x}=0\)

⇒ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{1}{sin^4x}=0\). ĐKXĐ : sin2x ≠ 0 

⇔ \(\dfrac{1}{cos^4x}+\dfrac{1}{sin^4x}=48\)

⇒ sin⁴x + cos⁴x = 48.sin⁴x . cos⁴x

⇔ (sin²x + cos²x)² - 2sin²x. cos²x = 3 . (2sinx.cosx)⁴

⇔ 1 - \(\dfrac{1}{2}\) . (2sinx . cosx)² = 3(2sinx.cosx)⁴

⇔ 1 - \(\dfrac{1}{2}sin^22x\) = 3sin⁴2x

⇔ \(sin^22x=\dfrac{1}{2}\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

⇔ 1 - 2sin²2x = 0

⇔ cos4x = 0

⇔ \(x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{4}\)

Gọi \(\overline{abcd}\) là một số thỏa mãn

+ Chọn số cho d : 5 cách (0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8)

+ Chọn số cho a : 9 cách (trừ số 0)

+ Chọn số cho b và c : \(A_8^2\) = 56

Vậy có 5 . 9 . 56 = 2520 số

4, \(cosx+\dfrac{1}{cosx}+sinx+\dfrac{1}{sinx}=\dfrac{10}{3}\) . ĐKXĐ : sin2x ≠ 0 

⇒ sin2x . cosx + 2sinx + sin2x . sinx + 2cosx = \(\dfrac{10sin2x}{3}\) (x sin2x)

⇔ sin2x . (sinx + cosx) + 2 (sinx + cosx) = \(\dfrac{10sin2x}{3}\)

⇔ (sinx + cosx) . (sin2x + 2) = \(\dfrac{10sin2x}{3}\)

Đặt a = sinx + cosx = \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\). Điều kiện của a là \(a\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

⇒ a² = sin²x + cos²x + 2sinx . cosx = 1 + sin2x

⇒ sin2x = a² - 1

Đặt như vậy ta được hệ phương trình : 

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a^2-1+2\right)=\dfrac{10}{3}\left(a^2-1\right)\\-\sqrt{2}\le a\le\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

⇔ \(a=\dfrac{2-\sqrt{19}}{3}\)

Vậy phương trình đã cho tương đương

\(sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{2-\sqrt{19}}{3\sqrt{2}}\)

Tìm Min và Max của hàm số

\(y=f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\) trên \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

Đừng có đạo hàm hay gì nhá

+ Xét trong phản ứng trao đổi thông thường : sản phẩm sau khi trao đổi các thành phần trong 2 chất không tạo được kết tủa

+ Xét trong phản ứng oxi hóa khử : cả N trong NO₃^- và Cu trong CuCl₂ đều đạt số oxi hóa cao nhất nên không xảy ra phản ứng oxi hóa khử

⇒ Không xảy ra phản ứng

1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

⇔ (1 + cos2x) + (cosx + cos3x) = 0

⇔ 2cos²x + 2cosx . cos2x = 0

⇔ cos²x + cosx . cos2x = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\cosx+cos2x=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\cos2x=cos\left(x+\pi\right)\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=\pi+k.2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{3}+k.\dfrac{2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

Tự vẽ tren đường tròn lượng giác nhé, mình đoán là có tầm 5 điểm

a, Trong mặt phẳng đáy (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}O\in\left(SAC\right)\\O\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\). Mà \(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAC\right)\\S\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ SO = (SAC) \(\cap\) (SBD)

b, I = BM \(\cap\left(SAC\right)\)

Mà BM \(\subset\) (SBD)

⇒ I ∈ (SBD)

⇒ I nằm trên giao tuyến của (SAC) và (SBD)

⇒ I ∈ SO

⇒ I là giao điểm của SO và AC trong (SAC)

Do tứ giác ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

⇒ O là trung điểm của AC và BD

ΔSBD có hai đường trung tuyến SO và BM cắt nhau tại I

⇒ I là trọng tâm của ΔSBD

Mà BM là đường trung tuyến của ΔSBD

⇒ BI = 2IM

c, E = SA \(\cap\) (BCM)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}E\in\left(SAD\right)\\E\in\left(BCM\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ E nằm trên giao tuyến của (SAD) và (BCM)

Mặt khác : (SAD) và (BCM) có chung điểm M. Mà AD nằm trong (SAD) ; BC nằm trong (BCM) và ta có AD//BC (hai cạnh đối của hình bình hành)

⇒ (SAD) \(\cap\) (BCM) = d. Với d là đường thẳng đi qua M và song song với AD

⇒ E là giao điểm của d với SA

ΔSAD có ME // AD. Mà M là trung điểm của SD

⇒ E là trung điểm của SA 

\(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

⇔ \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CB}\right|\) (1)

Trên cạnh AB lấy O sao cho \(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{1}{2}\)

⇒ \(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)

Trên cạnh tia đối của tia BC lấy E sao cho \(\dfrac{EB}{BC}=\dfrac{1}{3}\)

⇒ \(3\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)

Vậy (1) ⇒ \(\left|3\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|3\overrightarrow{ME}+3\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CB}\right|\)

⇒ 3MO = 3ME

⇒ MO = ME

⇒ M nằm trên đường trung trực của OE