Ta có: a + b + c = 0

\(\Rightarrow\) (a + b + c)² = 0

\(\Leftrightarrow\) a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 0

\(\Leftrightarrow\) 2009 + 2(ab + bc + ac) = 0

\(\Leftrightarrow\) ab + bc + ac = \(\dfrac{-2009}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) (ab + bc + ac)² = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) a²b² + b²c² + a²c² + 2abc(a + b + c) = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) a²b² + b²c² + c²a² = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)    (Vì a + b + c = 0)

Lại có: a² + b² + c² = 2009

\(\Rightarrow\) (a² + b² + c²)² = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2.\(\dfrac{2009^2}{4}\) = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2009² - \(\dfrac{2009^2}{2}\) = 2018040,5

Chúc bn học tốt!

số 1 nó tách ra khỏi phân số mà??

(Cho thêm x nguyên dương nha!)

\(A=\dfrac{x^2}{x^4}+1\)

\(A=\dfrac{1}{x^2}+1\)

Ta có: \(\dfrac{1}{x^2}\le1\) với mọi x \(\in\) Z⁺

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x^2}+1\le1+1=2\) với mọi x \(\in\) Z⁺

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = 1

Vậy Max_A = 2 \(\Leftrightarrow\) x = 1

Chúc bn học tốt!

C1: Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\dfrac{1}{a^2}\); \(\dfrac{1}{b^2}\); \(\dfrac{1}{c^2}\) ta được:

\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{a^2}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{b^2}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{c^2}}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c \(\ne\) 0

C2: Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) (a, b, c > 0)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c \(\ne\) 0

Thật vậy (Tự cm)

Áp dụng BĐT phụ trên cho 3 số dương \(\dfrac{1}{a^2}\); \(\dfrac{1}{b^2}\); \(\dfrac{1}{c^2}\) ta được:

\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c \(\ne\) 0

Chúc bn học tốt! (Mk chỉ bt 2 cách thôi, còn nhiều cái nx bạn có thể tìm hiểu thêm!)

Đề phải thế này không bạn? (Mà đề hỏi gì thế?)

\(\dfrac{a^2}{ab+b^2}+\dfrac{b^2}{ab-a^2}-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

Ta có: -101 < x \(\le\) 100

\(\Rightarrow\) x \(\in\) {-100; -99; ...; 99; 100}

Tổng của chúng là: -100 + (-99) + (-98) + ... + 99 + 100

= (-100 + 100) + (-99 + 99) + ... + 0

= 0

Vậy tổng của chúng là 0

Chúc bn học tốt!

Gọi thời gian tổ 1 làm một mình xong công việc là x(h); thời gian tổ 1 làm một mình xong công việc là y(h)  (ĐK: x, y > 0)

Một giờ tổ 1 làm được: \(\dfrac{1}{x}\) (Công việc)

Một giờ tổ 2 làm được: \(\dfrac{1}{y}\) (Công việc)

Một giờ cả hai tổ làm được: \(\dfrac{1}{12}\) (Công việc)

Vì một giờ cả hai tổ làm được \(\dfrac{1}{12}\) công việc nên ta có pt:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (1)

Tổ 1 làm chung với tổ 2 trong 4 giờ thì phải đi làm việc khác nên tổ 1 làm được: \(\dfrac{4}{x}\) (Công việc)

Tổ 2 làm chung với tổ 1 trong 4 giờ và làm xong công việc còn lại trong 10 giờ nên tổ 2 làm được: \(\dfrac{4}{y}+\dfrac{10}{y}=\dfrac{14}{y}\) (Công việc)

Vì hai tổ làm xong 1 công việc nên ta có pt:

\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hpt:

(I) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\end{matrix}\right.\)

Giải hpt:

(I) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{10}{y}=\dfrac{-2}{3}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}y=15\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{15}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}y=15\\\dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=60\\y=15\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy tổ 1 làm một mình trong 60h thì xong công việc đó

tổ 2 làm một mình trong 15h thì xong công việc đó

Chúc bn học tốt!

Mk hướng dẫn bạn cách làm thôi nha (Tại nó dài lắm!)

\(\left\{{}\begin{matrix}xy^2+2y^2-2=x^2+3x\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\) (y \(\ge\) 1)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}y^2\left(x+2\right)-\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y^2-x-1\right)=0\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\y^2-x-1=0\end{matrix}\right.\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=y^2-1\end{matrix}\right.\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)

Xét các TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\-2+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)

Giải hpt tìm được: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{13+\sqrt{117}}{2}\left(TM\right)\\y=\dfrac{13-\sqrt{117}}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) y = \(\dfrac{13+\sqrt{117}}{2}\)

Vậy ...

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y^2-1\\y^2-1+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\) 

Chứng minh được pt thứ hai vô nghiệm

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

Câu b chưa rút gọn hết :) (Xem lại bài mk đi!)