b) \(x,y\ge1\Rightarrow xy\ge1\)

BĐT đã cho tương đương với:

\(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow+\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi x=y hoặc xy=1

Giả sử đpcm đúng, ta có

\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)

\(x^2+x^2+y^2+y^2+2\ge2xy+2x+2y\)

\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

7) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(Min_B=\dfrac{3}{2}\) khi a=b=c

5) Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

\(\left(4x+5y\right)^2\le\left(4^2+5^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(x^2+y^2\le\dfrac{\left(4x+5y\right)^2}{4^2+5^2}=\dfrac{625}{41}\)

Đẳng thức xảy ra khi

2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)

\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)

\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

Tự c/m BĐT phụ sau: \(x^5+y^5\ge x^2y^2\left(x+y\right)\)

Áp dụng vào bài :V

\(\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\ge\dfrac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{ab}{ab\left[ab\left(a+b\right)+1\right]}=\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\dfrac{c}{abc\left(a+b\right)+c}=\dfrac{c}{a+b+c}\)

Tương tự rồi cộng lại được đpcm

\(\overline{xy}=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(4\overline{xy}=4\left[\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\right]\)

\(4\left(10x+y\right)=4\left(x^2-2x+1\right)+4\left(y^2-2y+1\right)\)

\(40x+4y-4x^2+8x-4-4y^2+8y-4=0\)

\(4x^2-48x+144+4y^2-12y+9=145\)

\(\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=12^2+1^2=8^2+9^2\)

Xét các TH:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=12\\\left|2y-3\right|=1\end{matrix}\right.\)(giải thì hệ này không thỏa mãn điều kiện)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=1\\\left|2y-3\right|=12\end{matrix}\right.\)(Hệ này cũng không thỏa mãn điều kiện)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=8\\\left|2y-3\right|=9\end{matrix}\right.\)( Nhận nghiệm x=2;y=6)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=9\\\left|2y-3\right|=8\end{matrix}\right.\)(Hệ này không thỏa mãn điều kiện)

Vậy\(\overline{xy}=26\)

Theo mình nghĩ nên là -24

Đặt: \(\left(x+2\right)\left(x+5\right)=x^2+7x+10=t\)

\(\left(x+3\right)\left(x+4\right)=x^2+7x+12=t+2\)

\(t\left(t+2\right)-26\)

\(=t^2+2t-26\)

\(=t^2+2t+1-27\)

\(=\left(t+1\right)^2-\sqrt{27}^2=\left(t+1-\sqrt{27}\right)\left(t+1+\sqrt{27}\right)\)

\(=\left(x^2+7x+10+1-\sqrt{27}\right)\left(x^2+7x+10+1+\sqrt{27}\right)\)

Vì \(a,b,c,x,y,z\ne0\) nên :

Đặt \(\dfrac{a}{x}=m;\dfrac{b}{y}=n;\dfrac{c}{z}=p\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{m};\dfrac{y}{b}=\dfrac{1}{n};\dfrac{z}{c}=\dfrac{1}{p}\)

Vậy ta có: \(m+n+p=0\)

\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}=1\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{p}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{p^2}+2\left(\dfrac{m+n+p}{mnp}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{p^2}=1\)

Vậy: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\Rightarrow M=1\)

3) Từ giả thiết, ta suy ra

\(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Bạn chịu khó tự biến đổi, ta được

\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\az-cx=0\Leftrightarrow az=cx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{z}\\bz-cy=0\Leftrightarrow bz=cy\Leftrightarrow\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\end{matrix}\right.\)

Vậy ta suy ra đpcm

P/S: Đây là BĐT Bunyakovsky với 3 số