Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(D^2\le3\left[a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{12}+\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{4}\right]\)

\(\Rightarrow D^2\le3\left[a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{12}+\dfrac{6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\right]\)

\(\Rightarrow D^2\le3\left[a+\dfrac{\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\right]\)

Ta sẽ C/m \(\dfrac{\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\le b+c\) (1)

Thật vậy \(\dfrac{\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\le b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le12\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2+6b+6c+12\sqrt{bc}\le12\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\le6\left(b+c\right)-12\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\le6\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(6-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\right)\ge0\) (2)

Ta có: \(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le2\left(b+c\right)< 2\left(a+b+c\right)=6\)

Do đó (2) đúng nên (1) đúng

\(\Rightarrow D^2\le3\left(a+b+c\right)=9\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy max \(D=3\)

Tối qua thấy bài này rồi mà giờ cũng chưa ai làm nhỉ?

Điều kiện xác định: \(x,y>0\)

\(x+y+13=2\left(2\sqrt{x}+3\sqrt{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4+y-6\sqrt{y}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2=0}{\sqrt{y}-3=0}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x=4}{y=9}\)

KL: x = 4, y = 9

Hung nguyen thật ra you học lớp mấy thế

\(\sqrt{x-1}+x-1=2\sqrt{2\left(x-3\right)^2+2x-2}\)

\(\sqrt{x-1}+x-1=\sqrt{8}.\sqrt{\left(x-1-2\right)^2+x-1}\)

\(\sqrt{x-1}+x-1=\sqrt{8}.\sqrt{\left(x-1\right)^2-4\left(x-1\right)+4+x-1}\)

\(\sqrt{x-1}+x-1=\sqrt{8}.\sqrt{\left(x-1\right)^2-3\left(x-1\right)+4}\)

Điều kiện: \(\left(x-1\right)\ge0\Rightarrow x\ge1\)

Có \(\left(x-1\right)^2-3\left(x-1\right)+4>0\) mọi x

Điều kiện: \(x\ge1\)

Đặt: \(\sqrt{x-1}=a\) cho gọn \(a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+a=\sqrt{8}.\sqrt{a^4-3a^2+4}\)
BP: \(\Leftrightarrow a^4+2a^3+a^2=8a^4-24a^2+32\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^3+a^2+6a^4-26a^2+32=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a\right)^2+6a^4-26a^2+32=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-a\right)^2+6\left(a^2-\dfrac{13}{6}\right)^2+\dfrac{23}{6}>0\)

\(\Rightarrow\) PT vô nghiệm

KL: PT vô nghiệm

Hình vẽ dưới đây biểu diễn các đường sức từ của hai thanh nam châm đặt gần nhau. Hãy chỉ ra tên hai cực của hai thanh nam châm này.

A. Cả hai cực đều là cực Bắc

B. Cực 1 là cực Bắc, cực 2 là cực Nam

C. Cực 1 là cực Nam, cực 2 là cực Bắc

D. Cả hai cực đều là cực Nam

Câu 2: a) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2-xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y

b) Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên \(a>0,b>0,c>0,a+b>0,b+c-a>0,c+a-b>0\)

Áp dụng câu a, ta có

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{1}{2b}=\dfrac{2}{b}\)

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{2c}=\dfrac{2}{c}\)

Câu 1: Với \(a;b;c>0\), theo bất đẳng thức Cauchy:

\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

Nhân theo vế ta được \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow MinA=9\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Gọi số cần tìm là a , ta có:

Từ đề => a+   1 chia hết cho 2;3;4;5

BCNN(2;3;4;5)= 2².3.5 = 60

a = 60 - 1 = 59