b) Tôi chỉ có thể giải nó bằng kiến thức lớp 8, bà thông cảm.

c) Đầu tiên ta kẻ đoạn thẳng AM tùy ý. Trên AM lấy G sao cho \(AG=\dfrac{2}{3}AM\). Lần lượt kẻ các đoạn thẳng BN;CQ đi qua G sao cho \(\)\(BG=\dfrac{2}{3}BN;CG=\dfrac{2}{3}CQ\)

\(\text{a) Ta có: }AG=\dfrac{2}{3}AM\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\\ \text{Mà }AG=GD\left(G\text{ là trung điểm }AD\right)\\ \Rightarrow GD=\dfrac{2}{3}AM\left(1\right)\\ \text{Mà }GM=\dfrac{1}{3}AM\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\\ \Rightarrow MD=MG=GD-GM=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{1}{3}AM\\ \text{Xét }\Delta BMD\text{ và }\Delta GMC\text{ có: }\left\{{}\begin{matrix}AM=BM\left(\text{Chứng minh trên}\right)\\\widehat{BMD}=\widehat{GMC}\left(\text{ 2 góc đối đỉnh }\right)\\MD=MG\left(\text{Chứng minh trên}\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BMD=\Delta GMC\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow BD=GC\left(\text{ 2 góc tương ứng }\right)\\ \text{Mà }GC=\dfrac{2}{3}CQ\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\\ \Rightarrow BD=\dfrac{2}{3}CQ\left(2\right)\\ \text{Lại có : }BG=\dfrac{2}{3}BN\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\left(3\right)\\ \text{Từ }\left(1\right);\left(2\right)\text{ và }\left(3\right)\Rightarrow\Delta BGD\text{ có các cạnh }GD;BD;BG=\dfrac{2}{3}\text{ các đường trung tuyến }AM;CQ;BN\text{ của }\Delta ABC\)

\(3x-\dfrac{1}{4}>2\\ \Leftrightarrow3x>\dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow x>\dfrac{3}{4}\\\text{Vậy } x>\dfrac{3}{4}\)

Do đa thức chia có bậc 2

nên đa thức dư là nhị thức bậc nhất

Đặt đa thức dư là \(ax+b\)

Đa thức thương là \(Q_{\left(x\right)}\)

\(\Rightarrow x+x^5+x^{10}+x^{20}=\left(x^2-1\right)Q_{\left(x\right)}+ax+b\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)Q_{\left(x\right)}+ax+b\)

Đẳng thức trên luôn đúng \(\forall x\)

nên lần lượt cho \(x=1;x=-1\)

\(\text{Ta được : }\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\b-a=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4-0}{2}\\b=\dfrac{4+0}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow ax+b=2x+2\)

Vậy số dư trong phép chia \(f_{\left(x\right)};g_{\left(x\right)}\)

là \(2x+2\)

Do đa thức bị chia có bậc 3

đa thức chia có bậc 2

nên đa thức thương là nhị thức bậc nhất.

\(\Rightarrow\) Hạng tử bậc nhất là \(x^3:x^2=x\)

Đặt đa thức thương là \(x+c\)

\(\Rightarrow\text{Để }x^3-5x^2+ax+b⋮x^2-x+1\\\text{thì } \Rightarrow x^3-5x^2+ax+b=\left(x^2-x+1\right)\left(x+c\right)\\ \\ =x^3-x^2+x+cx^2-cx+c\\ \\ =x^3+\left(c-1\right)x^2+\left(1-c\right)x+c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-1=-5\\1-c=a\\c=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-4\\a=5\\b=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(a=5;b=-4\)

thì \(x^3-5x^2+ax+b⋮x^2-x+1\)

\(\text{Ta có : }x=4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\\-x+1890\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow B=x^{19}-5x^{18}+5x^{17}-...-5x^2+5x+1886\\ =x^{19}-\left(x+1\right)x^{18}+\left(x+1\right)x^{17}-...-\left(x+1\right)x^2+\left(x+1\right)x-x+1890\\ =x^{19}-x^{19}-x^{18}+x^{18}+x^{17}-...-x^3-x^2+x^2+x-x+1890\\ \\=1890\)

1) 5/6 giữ nguyên ; 1/3 MSC:6 =2/6

2)1/4 MSC:20=5/20

9/10 MSC:20=18/20

\(\text{1. }x^5+x+1\\ \\=x^5+x+1+x^2-x^2\\ \\ =\left(x^5-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\=x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\ =x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\ =\left(x^3-x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\text{2. }x^{10}+x^5+1\\ \\ =x^{10}+x^5+1+x^2-x^2+x-x\\ \\ =\left(x^{10}-x\right)+\left(x^5-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\ =x\left(x^9-1\right)+x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\ =x\left(x^6+x^3+1\right)\left(x^3-1\right)+x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\ =\left(x^7+x^4+x\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)+\left(x^3-x^2\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ \\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^8-x^7+x^5-x^4+x^2-x+x^3-x^2+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^8-x^7+x^5-x^4-x+x^3+1\right)\)