\(\text{b) }6x^4+25x^3+12x^2-25x+6=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(6x^2+25x+12-\dfrac{25}{x}+\dfrac{6}{x^2}\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(6x^2-12+\dfrac{6}{x^2}+25x-\dfrac{25}{x}+24\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2\left[\left(6x^2-12+\dfrac{6}{x^2}\right)+\left(25x-\dfrac{25}{x}\right)+24\right]=0\\ \Leftrightarrow x^2\left[6\left(x^2-2+\dfrac{1}{x^2}\right)+25\left(x-\dfrac{1}{x}\right)+24\right]=0\\ \Leftrightarrow x^2\left[6\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+25\left(x-\dfrac{1}{x}\right)+24\right]=0\)

Đặt \(x-\dfrac{1}{x}=t\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(6t^2+25t+24\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(6t^2+9t+16t+24\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2\left[3t\left(2t+3\right)+8\left(2t+3\right)\right]=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(3t+8\right)\left(2t+3\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(3x-\dfrac{3}{x}+8\right)\left(2x-\dfrac{2}{x}+3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(3x^2-3+8x\right)\left(2x^2-2+3x\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(3x^2+9x-x-3\right)\left(2x^2+4x-x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[3x\left(x+3\right)-\left(x+3\right)\right]\left[2x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\right]=0\\ \Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(x+3\right)\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1=0\\x+3=0\\2x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=1\\x=-3\\2x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\x=-3\\x=\dfrac{1}{2}\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S=\left\{-\dfrac{1}{3};-3;\dfrac{1}{2};-2\right\}\)

\(\text{a) }\left(x+3\right)^4+\left(x+5\right)^4=16\\ \Leftrightarrow\left(x^2+6x+9\right)^2+\left(x^2+10x+25\right)^2=16\\ \Leftrightarrow x^4+36x^2+81+12x^3+18x^2+108x+x^4+100x^2+625+20x^3+50x^2+500x=16\\ \Leftrightarrow2x^4+32x^3+204x^2+608x+690=0\\ \Leftrightarrow x^4+16x^3+102x^2+304x+345=0\\ \Leftrightarrow x^4+5x^3+11x^3+55x^2+47x^2+235x+373x+69x+345=0\\ \Leftrightarrow\left(x^4+5x^3\right)+\left(11x^3+55x^2\right)+\left(47x^2+235x\right)+\left(69x+345\right)=0\\ \Leftrightarrow x^3\left(x+5\right)+11x^2\left(x+5\right)+47x\left(x+5\right)+69\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^3+11x^2+47x+69\right)\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+8x^2+24x+23x+69\right)\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[\left(x^3+3x^2\right)+\left(8x^2+24x\right)+\left(23x+69\right)\right]\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[x^2\left(x+3\right)+8x\left(x+3\right)+23\left(x+3\right)\right]\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2+8x+23\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+8x+16+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[\left(x+4\right)^2+7\right]\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0\left(\text{Vì }\left(x+4\right)^2+7\ne0\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S=\left\{-3;-5\right\}\)

\(\text{a) }\left|2-5x\right|=\left|3x+1\right|\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-5x=3x+1\\2-5x=-3x-1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-5x-3x=1-2\\-5x+3x=-1-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-8x=-1\\-2x=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{8}\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S=\left\{\dfrac{1}{8};\dfrac{3}{2}\right\}\)

\(\text{b) }\dfrac{3}{4x-20}+\dfrac{15}{50-2x^2}+\dfrac{7}{6x+30}=0\)

ĐXKĐ của phương trình \(:x\ne\pm5\)

\(\text{Ta có }:\dfrac{3}{4x-20}+\dfrac{15}{50-2x^2}+\dfrac{7}{6x+30}=0\\ \Rightarrow\dfrac{3}{4\left(x-5\right)}+\dfrac{15}{2\left(25-x^2\right)}+\dfrac{7}{6\left(x+5\right)}=0\\ \Rightarrow\dfrac{3}{4\left(x-5\right)}-\dfrac{15}{2\left(x+5\right)\left(x-5\right)}+\dfrac{7}{6\left(x+5\right)}=0\\ \Rightarrow\dfrac{9\left(x+5\right)}{12\left(x+5\right)\left(x-5\right)}-\dfrac{90}{12\left(x+5\right)\left(x-5\right)}+\dfrac{14\left(x-5\right)}{12\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0\\ \Rightarrow9x+45-90+14x-70=0\\ \Leftrightarrow23x=115\\ \Leftrightarrow x=5\left(KTM\right)\)

Vậy phương trình vô nghiệm

\(\text{c) }\dfrac{x+29}{31}-\dfrac{x+27}{33}=\dfrac{x+17}{43}-\dfrac{x+15}{45}\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x+29}{31}+1\right)-\left(\dfrac{x+27}{33}+1\right)=\left(\dfrac{x+17}{43}+1\right)-\left(\dfrac{x+15}{45}+1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+60}{31}-\dfrac{x+60}{33}-\dfrac{x+60}{43}+\dfrac{x+60}{45}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+60\right)\left(\dfrac{1}{31}-\dfrac{1}{33}-\dfrac{1}{43}+\dfrac{1}{45}\right)=0\\ \Leftrightarrow x+60=0\left(\text{Vì }\dfrac{1}{31}-\dfrac{1}{33}-\dfrac{1}{43}+\dfrac{1}{45}\ne0\right)\\ \Leftrightarrow x=-60\)

Vậy \(x=-60\) là nghiệm của phương trình

Gọi thời gian để ô tô gặp xe máylà \(x\left(h\right)\left(x>0\right)\)

Thời gian xe máy gặp ô tô là \(x+2\left(h\right)\)

Quãng đường ô tô đi được khi gặp xe máy là \(40x\left(km\right)\)

Quãng đường xe máy đi được khi gặp ô tô là \(35\left(x+2\right)\left(km\right)\)

Theo bài ra ta có pt: \(40x+35\left(x+2\right)=145\)

\(\Leftrightarrow40x+35x+70=145\\ \Leftrightarrow75x=75\\ \Leftrightarrow x=1\left(TMĐK\right)\)

Vậy ô tô gặp xe máy sau \(1\left(h\right)\), xe máy gặp ô tô sau \(1+2=3\left(h\right)\)

Gọi quãng đường \(AB\) là \(x\left(km\right)\left(x>0\right)\)

Vân tốc dự định là \(\dfrac{3x}{13}\left(km/h\right)\)

Vân tốc sau khi tăng thêm \(5\left(km/h\right)\) là \(\dfrac{3x}{13}+5\left(km/h\right)\)

Theo bài ra ta có pt: \(\dfrac{3x}{13}+5=\dfrac{x}{4}\)

\(\Leftrightarrow12x+260=13x\\ \Leftrightarrow x=260\left(TMĐK\right)\)

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(260\left(km\right)\)

Vận tốc dự định ban đầu là \(\dfrac{260\cdot3}{13}=60\left(km/h\right)\)

\(\text{Ta có : }VT=\left(3a-b\right)^2-\left(3a+b\right)^2\\ \\ =\left(3a-b+3a+b\right)\left(3a-b-3a-b\right)\\ \\ =6a\cdot\left(-2b\right)\\ =-12ab=VP\left(đpcm\right)\)

Vậy đảng thức được chứng minh.

Giả sử không có 3 chuồng nào nhốt cùng 1 số gà thì số chuồng nhiều nhất chỉ có thể gồm :

2 chuồng, mỗi chuồng nhốt 1 con 

2 chuồng, mỗi chuồng nhốt 2 con

...

2 chuồng, mỗi chuồng nhốt 23 con

2 chuồng, mỗi chuồng nhốt 24 con.

Tất cả gồm : 2 * 24 = 48 ( chuồng ). Như vậy còn thừa 50 - 48 = 2 ( chuồng ). Hai chuồng này sẽ nhốt số gà từ 1 đến 24 con .Do đó ít nhất có 3 chuồng nhốt 1 số gà như nhau .

\(mx+x-3m=1\)

a) Để phương trình nhận \(x=-1\) là nghiệm

thì \(\Rightarrow m\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)-3\cdot m=1\)

\(\Leftrightarrow-4m=2\\ \Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy để phương trình nhận \(x=-1\) là nghiệm

thì \(m=-\dfrac{1}{2}\)

\(\text{b) }Pt\Leftrightarrow m\left(x+1\right)=3m+1\)

+) Với \(m\ne0\Leftrightarrow x+1=\dfrac{3m+1}{m}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m}-1\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{2m+1}{m}\\ \Rightarrow S=\left\{\dfrac{2m+1}{m}\right\}\)

+) Với \(m=0\Leftrightarrow0x=1\left(\text{Vô nghiệm }\right)\)

\(\Rightarrow S=\varnothing\)

Vậy để phương trình vô nghiệm

thì \(m=0\)