Gọi (u_n) và (a_n) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và d₂ và có cùng n số hạng.

Ta có:

u_n = u₁ + (n -1) d₁

a_n = a₁ + (n – 1)d₂

⇒ u_n + a_n = u₁ + a₁ + (n – 1).(d₁ + d₂)

Vậy u_n + a_n là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ + a₁ và công sai là d₁ + d₂

Ví dụ:

1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d₁ = 2

0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d₂ = 5

⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d₁ + d₂ = 2 + 5 = 7

Xét dãy số (a_n), ta có a₁ = 4.

Giả sử hình vuông cạnh C_n có độ dài cạnh là a_n. Ta sẽ tính cạnh a_n+1 của hình vuông C_n+1. Theo hình 9, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

a_n+1 = với n ε N^*.

Vậy dãy số (a_n) là cấp số nhân với số hạng đầu là a₁ = 4 và công bội q =

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

N + 1,4%.N = 101,4%.N = .

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

N, , , ....

Vậy nếu N = 1,8 triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau 5 năm số dân của tỉnh là ≈ 1,9 (triệu người)

và sau 10 năm sẽ là ≈ 2,1 (triệu người)

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

u₃ = 3 = u₁.q² và u₅ = 27 = u₁.q⁴.

Vì 27 = (u₁q²).q² = 3.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u₃, ta có u₁ = .

- Nếu q = 3, ta có cấp số nhân: , 1, 3, 9, 27.

- Nếu q = -3, ta có cáp số nhân: , -1, 3, -9, 27.

b) Áp dụng công thức tính số hạng tỏng quát từ giả thiết, ta có:

hay

Từ hệ trên ta được: 50.q = 25 => q = .

Và u₁ = .

Ta có cấp số nhân .

Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: S = 1 + 2 + 3 +....+ 12. Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có u₁ = 1, u₁₂ = 12. Do đó áp dụng công thức tính tổng,

ta có S = = 78.

Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông

a) Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là h_n

Ta có: h_n = 0,5 + n.0,18.

b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là

h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)

a) Từ hệ thức đã cho ta có:

hay

.Giải hệ này tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 16, d = -3.

b) Từ hệ đã cho ta có:

hay

Giải hệ này để tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2

u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2.

a) Xét hiệu u_n+1 - u_n = - 2 - ( - 2) = - .

Vì < nên u_n+1 - u_n = - < 0 với mọi n ε N^{* .}

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu u_n+1 - u_n =

=

Vậy u_n+1 > u_n với mọi n ε N^* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì u_n > 0 với mọi n ε N^* ) rồi so sánh với 1.

Ta có với mọi n ε N^*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm