\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

= \(\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\)

= \(\dfrac{1-\sqrt{2}}{-1}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)

= \(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

= \(-1+\sqrt{100}\) = -1+10=9

\(\Rightarrow\) đpcm

Những cái @Syndra楓葉♪ nói cũng có cái đúng,cũng có cái thiếu sót của nó. Thiếu sót thì mọi người đều đã chỉ ra rồi.Nhưng nói nhiều mà những người đã và đang sai lầm ko chịu sửa đổi hay khắc phục thì cx chịu.Chủ yếu ở ý thức của từng người thôi,bt sai là sửa còn ko dù nói mãi thì tình trạng copy vô tội vạ vẫn thế diễn ra thôi

Dù sao cũng mong BQT hoc24 cùng các CTV và mọi người cùng chung tay khắc phục việc này cũng như có biện pháp xử lý.

Ta cm \(a^3+b^3+c^3=3abc\) là đúng khi \(a+b+c=0\)

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right)c-3ab\right]=0\)(điều này đúng vì a+b+c=0)

\(\Rightarrow\) \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

a) \(27x^3+27x^2+9x+1\)

= \(\left(3x\right)^3+3.\left(3x\right)^2.1+3.1^2.3x+1^3\)

= \(\left(3x+1\right)^3\) (1)

Thay x=13 vào pt(1),ta được:

\(\left(3x+1\right)^3=\left(3.13+1\right)^3=40^3=64000\)

b) \(x^3+12x^2+48x+65\)

= \(x^3+3.x^2.4+3.4^2.x+4^3+1\)

= \(\left(x+4\right)^3+1\) (2)

Thay x=6 vào pt(2),ta được:

\(\left(x+4\right)^3+1=\left(6+4\right)^3+1=10^3+1=1001\)

Cuộc thi bị hoãn lại vì bên tổ chức bận việc quan trọng,phải xử lí gấp.Mong các thí sinh thông cảm và đợi 3 ngày nữa.Chân thành cảm ơn.

Ta có:

A= \(\left(a+1\right)\left(a+3\right)\left(a+5\right)\left(a+7\right)+15\)

= \(\left[\left(a+1\right)\left(a+7\right)\right].\left[\left(a+3\right)\left(a+5\right)\right]+15\)

= \(\left(a^2+8a+7\right).\left(a^2+8a+15\right)+15\)

Đặt \(t=a^2+8a+11\)

\(\Rightarrow\) A= \(\left(t-4\right)\left(t+4\right)\) +15

= \(t^2-16+15\)

= \(t^2-1\)

= \(\left(t+1\right)\left(t-1\right)\)

= \(\left(a^2+8a+11+1\right)\left(a^2+8a+11-1\right)\)

= \(\left(a^2+8a+10\right)\left(a^2+8a+12\right)\)

Chúc bạn học tốt.