Ta có: \(a=6m+1=7n+3\) \(\left(m,n\in N\right)\)

\(\Rightarrow a+11=6m+1+11=7n+3+11\)

\(\Rightarrow a+11=6m+12=7n+14\)

\(\Rightarrow a+11=6.\left(m+2\right)=7.\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow a+11\in BC\left(6;7\right)\)

Vì \(\left(6;7\right)=1\Rightarrow BCNN\left(6;7\right)=6.7=42\)

\(\Rightarrow a+11\in B\left(42\right)\)

\(\Rightarrow a+11=42k\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow a=42k-11\)

\(\Rightarrow a=42k-42+31\)

\(\Rightarrow a=42\left(k-1\right)+31\)

Vậy a chia cho 42 dư 31.

đặt A=3x²+y²-2xy-7=(x^2-2xy+y²)+2x²-7=(x-y)²+2x²-7.ta có (x-y)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (bằng 0 khi x bằng y) và 2x² cũng lớn hơn hoặc bằng 0(bằng 0 khi x=0) nên (x-y)²+2x² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (bằng 0 khi x=y=0) suy ra (x-y)²+2x²-7 luôn lớn hơn hoặc bằng -7(đẳng thức xảy ra khi x=y=0) nên GTNN của A là -7.  

Vậy GTNN của A là -7.

Ta có: \(9\left(2x+3y\right)-2\left(9x+5y\right)\) \(=\left(18x+27\right)-\left(18x+10\right)\)

\(=17y⋮17\left(1\right)\)

Theo đề ra vì \(2x+3y⋮17\Rightarrow9\left(2x+3y\right)⋮17\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(2\left(9x+5y\right)⋮17\) \(\Rightarrow9x+5y⋮17\) {Vì (2;17) = 1}

Vậy nếu \(2x+3y⋮27\) thì \(9x+5y⋮17\)