\(\Delta AMC\) và \(\Delta ABC\) có chung chiều cao hạ từ C và đáy AM=\(\dfrac{2}{3}AB\) nên\(S_{AMC}=\dfrac{2}{3}S_{ABC}=\dfrac{2}{3}.54=36\left(cm^2\right)\)

\(\Delta AMC\) và \(\Delta AMN\) có chung chiều cao hạ từ M và đáy \(AN=\dfrac{1}{3}AC=>S_{AMN}=\dfrac{1}{3}S_{AMC}=\dfrac{1}{3}.36=12\left(cm^2\right)\) Vậy diện tích tam giác AMN=12(cm²)

câu 4

\(\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+...+\dfrac{1}{\left(x+99\right)\left(x+100\right)}=\dfrac{k}{x\left(x+100\right)}\) =>\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+2}-...+\dfrac{1}{x+99}-\dfrac{1}{x+100}=\dfrac{k}{x\left(x+100\right)}\) =>\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+100}=\dfrac{k}{x\left(x+100\right)}\)

=>\(\dfrac{x+100-x}{x\left(x+100\right)}=\dfrac{k}{x\left(x+100\right)}\)

=>x+100-x=k

=>k=100

\(9x^2+4y^2=20xy\)

=>\(\left(9x^2-18xy\right)-\left(2xy-4y^2\right)=0\)

=>\(9x\left(x-2y\right)-2y\left(x-2y\right)=0\)

=>\(\left(x-2y\right)\left(9x-2y\right)=0\)

=>\(x-2y=0\) (vì 2y<3x<0 nên 9x\(\ne2y\) )

=>x=2y

Thay x=2y vào A ta có

\(A=\dfrac{6y-2y}{6y+2y}=\dfrac{4y}{8y}=0,5\)

Vậy A=0,5

\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\) =>\(\dfrac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\) =>\(ayz+bxz+cxy=0\) \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=0\)=>\(\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=0\)

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ac}\right)=0=>\dfrac{x^2}{a2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{cxy+ayz+bxz}{abc}\right)=0\) \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=0\) (vì ayz+bxz+cxy=0)

Vậy \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2011=2011\)

Tam giác ABC có MN//BC nên theo hệ quả của định lý Ta-Lét ta có

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}hay\dfrac{3}{9}=\dfrac{AN}{15}=>AN=5\left(cm\right)\)

tam giác abc có AD là đường phân giác nên

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}hay\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{7}=\dfrac{BD+CD}{3+7}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\) (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=>BD=\(\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\) (cm)

gọi thương của phép chia a cho 7 là x ta có a=7x+3

gọi thương của phép chia b cho 7 là y ta có

b=7y+5

ta có ab=(7x+3)(7y+5)=49xy+35x+21y+15 =7(7xy+5x+3y+2)+1

Vậy số dư của phép chia ab cho 7 là 1

\(\dfrac{2x+a}{a-2}-\dfrac{a-2x}{a+2}=\dfrac{6a}{a^2-4}\)

\(2ax+a^2+4x+2a-a^2+2ax+2a-4x=6a\) \(\) =>\(4ax+4a=6a\)

=>4ax=2a

Để phương trình nghiệm đúng với mọi x thì a=0