+) x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)3 - 3xy(x+ y) + z3 - 3xyz = (x + y + z)3 - 3(x+y)z.(x + y + z) - [3xy(x+ y) + 3xyz]
= (x+ y + z)3 - (3xz + 3yz)(x+ y + z) - 3xy(x+ y + z) = (x + y + z).[(x+ y + z)2 - 3xz - 3yz - 3xy]
= (x+ y + z).(x2 + y2 + z2 - xz - yz - xy)
+) Ta có: (x+ y + z).(x2 + y2 + z2 - xz - yz - xy) = x(y - z)2 + z(x - y)2 + y(z - x)2
<=> (x+ y + z)(2x2 + 2y2 + 2z2 - xz - yz - xy) = 2x(y - z)2 + 2z(x - y)2 + 2y(z - x)2
<=> (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 2x(y - z)2 + 2z(x - y)2 + 2y(z - x)2
<=> [(x + y + z)(x - y)2 - 2z(x - y)2] + [(x + y + z)(y - z)2 - 2x(y - z)2] + [(x+ y + z).(z - x)2 - 2y(z - x)2] = 0
<=> (x + y - z)(x - y)2 + (y + z- x).(y - z)2 + (x+ z- y).(z - x)2 = 0 (*)
Vì x; y; z là 3 cạnh của tam giác => x+ y - z > 0 ; y + z - x > 0; x+ z - y > 0
=> (x + y - z)(x - y)2 \(\ge\); (y + z- x).(y - z)2 \(\ge\) 0 ; (x+ z- y).(z - x)2 \(\ge\) 0
Để (*) xảy ra <=> (x + y - z)(x - y)2 = (y + z- x).(y - z)2 = (x+ z- y).(z - x)2 = 0
<=> x - y = y - z = z - x = 0 <=> x = y = z
Vậy (x; y; z) nguyên dương sao cho x = y = z thỏa mãn pt