Ace Legona Bảo bạn c/m chứ không phải bảo bạn lý luận

Lời giải:

Nhân \(12\left(a+b+c\right)\) cho hai vế, ta sẽ được BĐT tương đương là:

\(a^2+b^2+c^2+5\left(ab+bc+ca\right)\ge6\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ca\right)\ge6\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM hai lần ta có ĐPCM:

\(\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge2\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge6\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Giải:

Từ giả thiết ta có:

\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(b+c\right)+bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b+c}\le\dfrac{a}{a+b}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\le\dfrac{b}{a+b}\left(2\right)\)

\(\dfrac{c}{ab+1}\le c\le1\left(3\right)\)

Cộng theo vế \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta đươc:

\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a+b}{a+b}+1=2\)

Vậy \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\) (Đpcm)

Giải:

Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\)

Gọi độ dài của \(AM=x;0< x< a\). Khi đó \(MB=a-x\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{AM}\) Hay \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{a-x}{x}\)

Giải phương trình \(x^2=a\left(a-x\right)\) Hay \(x^2+ax-a^2=0\)

\(\Delta=a^2+4a^2=5a^2;\sqrt{\Delta}=a\sqrt{5}\)

\(x_1=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2}=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\)

\(x_2=\dfrac{-a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}\)

Vì \(x>0\) nên \(x_2\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy \(AM=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\)

Vậy tỉ số cần tìm là \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)

Giải:

Vì lấy 2 điểm nên:

\(C^2_6=15\rightarrow n\left(\Omega\right)=15\)

Gọi:

\(A\) là biến cố "2 thẻ lấy ra là 2 cạnh của lục giác"

\(B\) là biến cố "2 thẻ lấy ra là đường chéo của lục giác"

\(C\) là biến cố "2 thẻ lấy ra là đường chéo của 2 cạnh đối diện của lục giác"

a) \(n\left(A\right)=6\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\)

b) \(B=\overline{A}\Rightarrow P\left(B\right)=1-P\left(A\right)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\)

c) \(n\left(C\right)=6\Rightarrow P\left(C\right)=\dfrac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}\)