Question

Tỉ số vàng: Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn. Hãy tìm tỉ số ấy.

Answer 1

Giải:

Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\)

Gọi độ dài của \(AM=x;0< x< a\). Khi đó \(MB=a-x\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{AM}\) Hay \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{a-x}{x}\)

Giải phương trình \(x^2=a\left(a-x\right)\) Hay \(x^2+ax-a^2=0\)

\(\Delta=a^2+4a^2=5a^2;\sqrt{\Delta}=a\sqrt{5}\)

\(x_1=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2}=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\)

\(x_2=\dfrac{-a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}\)

Vì \(x>0\) nên \(x_2\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy \(AM=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\)

Vậy tỉ số cần tìm là \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)