Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện: \(2x^3=9y^3=45\)và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\). Chứng minh rằng; \(\sqrt[3]{2x^2+9y^2+45z^2}=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{45}\)

Cho a,b,c là các số thỏa mãn các điều kiện:-1<=a,b,c<=2; và a+b+c=0. chứng minh: a^2+b^2+c^2<=6

Giải hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong 1 đường tròn. M là điểm bất kì trên cung AC( không chứa điểm B). Kẻ MH vuông góc AC

; Mk vuông góc BC. Gọi P,Q tương ứng là trung điểm của AB và KH. Chứng minh rằng tam giác PQM là tam giác vuông

Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh hình vuông bằng 10cm. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn đi qua 3 điểm A,O,D không chứa điểm O. IO cắt cạnh BC tại J. Cạnh DK của hình bình hành IJKD cắt BC tại E, EH là đường cao của tam giác EKJ.

a)Tính số đo của góc HEK

b) Chứng minh rằng IJ>10 căn 2 cm

Cho đương tròn tâm O, đường kính BC cố định và điểm A thuộc đường tròn (O). kẻ AH vuông góc BC tại H. Gọi I,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và AHC. Đường thẳng IK cắt AB tại M và cắt AC tại N.

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Xác định vị trí của điểm A để tứ giác BCNM nội tiếp

c) Chứng minh diện tích tam giác AMN nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 diện tích tam giác ABC

Cho đương tròn tâm O, đường kính BC cố định và điểm A thuộc đường tròn (O). kẻ AH vuông góc BC tại H. Gọi I,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và AHC. Đường thẳng IK cắt AB tại M và cắt AC tại N.

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Xác định vị trí của điểm A để tứ giác BCNM nội tiếp

c) Chứng minh diện tích tam giác AMN nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 diện tích tam giác ABC

Cho tam giác ABC có đương trung tuyến AM, phân giác AD, đường cao AH chia góc BAC thành 4 góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ABC

Cho a=\(\left(x+\sqrt{x^2+b}\right)\left(y+\sqrt{y^2+b}\right)\ne0\). Tính S=\(x\sqrt{y^2+b}+y\sqrt{x^2+b}\)theo a và b