Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của tam giác ABC.

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn này.

b) Vẽ đường kính AK của dường tròn (O; R). Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng.

c) Giả sử BC=3/4AK Tính tổng AB.CK + AC.BK theo R.

Cho 2 đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại O. A là điểm cố định trên Ox, B là điểm cố định trên Oy mà OA=OB. Gọi C là điểm chuyển động trên đoạn OB. Đường thẳng vuông góc với AC vẽ từ B cắt Ac tại E và xx’ tại D

a)chứng minh OC=OD.

b) Tìm quỹ tích điểm E

c) Tìm quỹ tích điểm F là tâm đường tròn đi qua 4 điểm O,C,E,D

d)Chứng minh OE là phân giác của góc DEA

e) Gọi G là hình chiếu của O xuống BD. Tìm quỹ tích của điểm G

Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC, nội tiếp đường tròn (O). Ah là đường cao, đường phân giác của góc A cắt BC tại i, cắt (O) tại M. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại K

a)chứng minh rằng: 1)KA^2=KB.KC 2)AM là phân giác góc OAH

b)MO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ 2 N, kẻ OE vuông góc với NC(E thuộc NC). Chứng minh OE=BM/2

c)Xem A,K,O là các điểm cố định, còn KBC là cát tuyến của đường tròn (O). Khi cát tuyến KBC quay quang K thì điểm I di động trên đường nào?

Cho một đường tròn tâm O. từ điểm A trên đường tròn đó vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy 1 điểm M tùy ý khác A, vẽ tiếp tuyến thứ 2 MB của đường tròn.

1/Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của M trên Ax để tứ giác AMBO là hình vuông.

2/Từ 1 điểm I trên cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ 3 của đường tròn cắt MA tại P và BM tại Q. Giả sử MA=a. chứng minh rằng chu vi tam giác MPQ bằng 2a

3/Khi M di động trên tiếp tuyến Ax thì trực tâm H của tam giác MAB di động trên dường nào

cho 2 duong tron tam (O) va tam (I) cat nhau tai A và B. Đường thẳng d đi qua A cắt các đường tron O và I tại P và Q. Gọi C là giao điểm của PO và QI.

a)Chứng minh rằng các tứ giác BCQP,OBCI nội tiếp

b)Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AP,AQ, K là trung điểm È. Khi đường thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào?

c)Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất