Áp dụng bđt Cô-si để tìm GTNN của các bđt sau:

a) \(y=\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\) với x>0

b) \(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}\) với x>1

c)\(y=\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}\) với x>-1

d) \(y=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)

e) \(y=\frac{1}{1-x}+\frac{5}{x}\) với 0<x<1

f) \(y=\frac{x^3+1}{x^2}\) với x>0

g) \(y=\frac{x^2+4x+4}{x}\) với x>0

h) \(y=x^2+\frac{2}{x^3}\) với x>0

Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

Cho a,b>0 . Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:

a)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\) với a,b,c>0

b)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\) với a,b,c>0

c)Cho a,b,c>0 tm \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) . CM \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)

d) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi .CMR:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cho a,b,c>0. CM các bđt sau:

a)\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

b)\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

c)\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) với a,b,c>0

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\) với a,b,c<0

\(a^2\left(a+b^2\right)+b^2\left(1+b^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)