Mình có sửa lại bài trong phần bình luận rồi nhé. Các BQT đi qua thì chỉnh lại và xóa câu trả lời này giúp mình. Xin cảm ơn

Ngoài giả thuyết tạm thì bạn cũng có thể giải bằng cách lập phương trình (lớp 8 bạn sẽ học kỹ)

Đặt $x$ là số học sinh đạt điểm $8$ ( $x \in \mathbb{N*} ; x \leqslant 45$ )

$45 - x$ là số học sinh đạt điểm $9$

$8x$ là tổng điểm $8$ của cả lớp

$9(45-x)$ là tổng điểm $9$ của cả lớp

Theo để bài ta có : Tổng số điểm của cả lớp là $375$

hay $8x + 9(45-x) = 375$

$\iff 8x + 405 - 9x = 375$

$\iff 8x - 9x = 375 - 405$

$\iff -x = -30 \iff x = 30$ (nhận)

Vậy lớp có $30$ học sinh đạt điểm $8$

Áp dụng bđt AM-GM (Cô-si)

$$\dfrac{a^2}{b-1} + 4(b-1) \geqslant 4a \\

\dfrac{b^2}{c-1} +4(c-1) \geqslant 4b \\

\dfrac{c^2}{a-1} + 4(a-1) \geqslant 4c \\

\implies \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{c-1} + \dfrac{c^2}{a-1} + 4(a+b+c) - 12 \geqslant 4(a+b+c) \\

\iff \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{c-1} + \dfrac{c^2}{a-1} \geqslant 12$$

Ta được đpcm. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=2$

$P = \dfrac1{2000 \cdot 1999} + \dfrac1{1999 \cdot 1998} + \ldots + \dfrac1{3 \cdot 2} + \dfrac1{2 \cdot 1} \\
= \dfrac1{1999} - \dfrac1{2000} + \dfrac1{1998} - \dfrac1{1999} + \ldots + \dfrac12 - \dfrac13 + \dfrac11 - \dfrac12
= - \dfrac1{2000} + \dfrac11 \\
= \dfrac{1999}{2000}$

Với $n = 0$, nhận

Với $n > 0$, xét với $k > 0$

+) $n = 3k$, thì $n + 3 = 3k + 3 = 3(k+1) > 3$ và chia hết cho $3$ nên không là số nguyên tố $\longrightarrow$ loại

+) $n = 3k + 1$ thì $2n^2 + 12n + 19 = 2(3k+1)^2 + 12(3k+1) + 19 = 18k^2 + 48k + 33 > 3$ và chia hết cho $3$ nên không là số nguyên tố $\longrightarrow$ loại

+) $n = 3k + 2$ thì $2n^2 + 12n + 19 = 2(3k+2)^2 + 12(3k+2) + 19 = 18k^2 + 6k + 51 > 3$ và chia hết cho $3$ nên không là số nguyên tổ $\longrightarrow$ loại

Vậy $n = 0$

$$\begin{array}{rcl}
\dfrac1{2000 \cdot 1999} - P &=& \dfrac1{1\cdot 2} + \dfrac1{2\cdot 3} + \ldots + \dfrac1{1998 \cdot 1999} \\
&=& \dfrac11 - \dfrac12 + \dfrac12 - \dfrac13 + \ldots + \dfrac1{1998} - \dfrac1{1999} \\
&=& 1 - \dfrac1{1999} \\
\implies P &=& \dfrac1{2000 \cdot 1999} - \left( 1 - \dfrac1{1999} \right) = -\dfrac{3995999}{3998000} \\
\end{array}$$

$x^2 + 45 = y^2$

$\iff y = \sqrt{x^2 + 45}$

Vậy pt có nghiệm $(x;y) = \{(x;\sqrt{x^2+45})$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$(5x+1) | (4x + 30)$

$\implies (5x+1)|(20x + 15) = [4(5x+1) + 11]$

$\implies (5x+1) | 11

$\implies 5x+1 \in Ư(11) = \{ \pm 11 ; \pm 1 \}$

$\iff x = \{ 2 ; -\dfrac{12}5 ; 0 ; -\dfrac25 \}$

Do $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = \{ 2 ; 0\}$

Thử lại, đều nhận hết

Nhìn thấy các bạn cmt mà tôi phì cười. Google dịch ?
Đáp án là 88531

b) $$\dfrac{x-1}2 = \dfrac{y-2}3 = \dfrac{z-3}3$$

$$\iff \dfrac{x-1}2 = \dfrac{2y-4}{6} = \dfrac{3z - 9}9$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

$$\dfrac{x-1}2 = \dfrac{2y-4}{6} = \dfrac{3z - 9}9 = \dfrac{(x-1) - (2y-4) + (3z - 9)}{2 - 6 + 9} = \dfrac{(x - 2y + 3z) - 6}5 = \dfrac{16 - 6}5 = 2$$

+) $\dfrac{x-1}2 = 2 \iff x = 5$

+) $\dfrac{2y-4}6 = 2 \iff y = 8$

+) $\dfrac{3z-9}9 = 2 \iff z = 9$