Ta có :

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

...

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+..+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+..+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{n}< 1\left(đpcm\right)\)

Ta thấy:\(2=\left(-1\right)^{1+1}.\left(3.1-1\right)\)

\(-5=\left(-1\right)^{2+1}.\left(3.2-1\right)\)

\(8=\left(-1\right)^{3+1}.\left(3.3-1\right)\)

\(-11=\left(-1\right)^{4+1}.\left(3.4-1\right)\)

......

\(\Rightarrow\)Số hạng tổng quát thứ n của A là:\(\left(-1\right)^{n+1}.\left(3.n-1\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)

...

\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+..+\frac{1}{10}=100.\frac{1}{10}=10\)Vậy \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>10\left(đpcm\right)\)

\(\left(\frac{1}{2}\right)^x+\left(\frac{1}{2}\right)^{x+4}=17\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^x\left(1+\left(\frac{1}{2}^4\right)\right)=17\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^x.\frac{17}{16}=17\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^x=16\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\)

\(\Rightarrow x=-4\)

Vậy....

Trung bình cộng của a và b là 13 \(\Rightarrow a+b=26\left(1\right)\)

Trung bình cộng của b và c là 9\(\Rightarrow b+c=18\left(2\right)\)

Trung bình cộng của a và c là 11\(\Rightarrow a+c=22\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) ta được:

\(a+b+b+c+a+c=26+18+22\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)=66\)

\(\Rightarrow a+b+c=33\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=15\\b=11\\c=7\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

5)Ta có 26y chẵn, 2000 chẵn \(\Rightarrow51x\)chẵn \(\Rightarrow x⋮2\)

Mà x nguyên tố \(\Rightarrow x=2\)

Thay x=2 vào ta có

51.2+26y=2000

\(\Rightarrow102+26y=2000\)

\(\Rightarrow26y=1898\)

\(\Rightarrow y=73\)

Vậy \(x=2,y=73\)

\(A=2^{2015}-\left(2^{2014}+2^{2013}+...+2+1\right)\)

Đặt \(B=2^{2014}+2^{2013}+...+2+1\)

\(\Rightarrow2B=2^{2015}+2^{2014}+...+2^2+2\)

\(\Rightarrow2B-B=\left(2^{2015}+2^{2014}+...+2^2+2\right)-\left(2^{2014}+2^{2013}+...+2+1\right)\)\(\Rightarrow B=2^{2015}-1\)

\(\Rightarrow A=2^{2015}-2^{2015}+1\)

\(\Rightarrow A=1\)

Từ 7a=9b=21c\(\Rightarrow\frac{7a}{63}=\frac{9b}{63}=\frac{21c}{63}\Rightarrow\frac{a}{9}=\frac{b}{7}=\frac{c}{3}\)

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{9}=\frac{b}{7}=\frac{c}{3}=\frac{a-b+c}{9-7+3}=\frac{15}{5}=3\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=27\\b=21\\c=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)^2=\left(27+21-9\right)^2=1521\)

Vậy \(\left(a+b-c\right)^2=1521\)

Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=k\)

\(\Rightarrow k=\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow k^2=\frac{a}{c}.\frac{c}{b}=\frac{a}{b}\left(1\right)\)

Từ \(k=\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow k^2=\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}\)

Áp dụng tc dãy ti số bằng nhau ta có:

\(k^2=\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\left(2\right)\)

Từ (1), (2)\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\left(đpcm\right)\)