Bài 1: Giải:

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a>5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(0< a< b\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

Hay \(\dfrac{2}{a}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a}>\dfrac{2}{10}\Leftrightarrow a< 10\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow a\in\left\{6;7;8;9\right\}\)

Xét từng trường hợp chỉ có:

\(a=6\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow b=30\) là thỏa mãn

Vậy chỉ có một cách viết duy nhất là \(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}\)

Bài 2: Giải:

Gọi số tự nhiên hai chữ số có tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất là \(\dfrac{\overline{ab}}{a+b}\)

Đặt \(k=\dfrac{\overline{ab}}{a+b}.\) Ta có:

\(k=\dfrac{\overline{ab}}{a+b}=\dfrac{10a+b}{a+b}\ge\dfrac{10a+10b}{a+b}=10\)

\(\Leftrightarrow k=10\Leftrightarrow b=10b\Leftrightarrow b=0\)

Vậy \(k_{\text{lớn nhất}}=10\) ứng với các số \(10;20;30;...;90\)

Bài 3: Giải:

Giả sử ta tìm được hai chữ số \(a\) và \(b\) sao cho \(\dfrac{a}{b}=a,b\)

Rõ ràng ta thấy: \(a,b>a\left(b\ne0\right)\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b}=a.\dfrac{1}{b}\) Mà \(\dfrac{1}{b}\le1\) nên \(a.\dfrac{1}{b}\le a\)

Hay \(\dfrac{a}{b}\le a\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< a,b\)

Vậy không tìm được hai chữ số \(a,b\) thỏa mãn đề bài.

Giải:

Gọi số học sinh lớp \(8A\) là \(x\) (học sinh). Điều kiện: \(x>0\)

Khi đó:

Số học sinh lớp \(8B\) là \(94-x\) (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp \(8A\) là \(25\%x=\dfrac{1}{4}x=\dfrac{x}{4}\) (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp \(8B\) là:

\(20\%\left(94-x\right)=\dfrac{1}{5}\left(94-x\right)=\dfrac{94-x}{5}\) (học sinh)

Mà tổng số học sinh giỏi của hai lớp là \(21\) học sinh

Nên theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{94-x}{5}=21\) \(\Leftrightarrow\dfrac{376+x}{20}=21\)

\(\Leftrightarrow376+x=420\Leftrightarrow x=44\) (Thỏa mãn điều kiện)

\(\Rightarrow\) Số học sinh của lớp \(6B\) là:

\(94-44=50\) (học sinh)

Vậy...