Giải:

a) Ta có:

\(VP=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)

\(=a^3+b^3=VT\) (Đpcm)

b) Ta có:

\(VP=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+3a^2b-3ab^2\)

\(=a^3-b^3=VT\) (Đpcm)

Áp dụng:

Với \(ab=12\) và \(a+b=-7\) ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(-7\right)^3-3.12.\left(-7\right)=-91\)

Giải:

Giả sử \(\left(x-a\right)\left(x-10\right)+1=\) \(\left(x-m\right)\left(x-n\right)\)\(;\left(m,n\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(a+10\right)x+10a+1\) \(=x^2-\left(m+n\right)x+mn\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+n=a+10\\m.n=10a+1\end{matrix}\right.\) Khử \(a\) ta có:

\(mn=10\left(m+n-10\right)+1\)

\(\Leftrightarrow mn-10m-10n+100=1\)

\(\Leftrightarrow m\left(n-10\right)-10n+100=1\)

Mà \(n,m\in Z\) nên ta có:

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-10=1\\n-10=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-10=-1\\n-10=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=12\\a=8\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Cái bạn hình tự vẽ nhé!

Giải:

Đặt \(BC=x.\) Từ tính chất của tam giác cân \(\Rightarrow CH=x\)

Áp dụng định lý Pi - ta - go \(\Rightarrow AC=\sqrt{15,6^2+x^2}\)

Từ hai tam giác vuông \(KBC\) và \(HAC\) đồng dạng ta có:

\(\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{KB}{AH}\) Hay \(\dfrac{2x}{\sqrt{15,6^2+x^2}}=\dfrac{12}{15,6}\)

\(\Leftrightarrow15,6^2+x^2=6,76x^2\)

Giải phương trình ta được nghiệm dương \(x=6,5\)

Vậy \(BC=2.6,5=13\left(cm\right)\)

ta có :12=1.12=12.1=2.6=6.2=3.4=4.3

+/    2x+1=1=>2x=0=>x=0        ( TM)

       y=12

+/    2x+1=12=>2x=11=>x=11/2      (loại)

       y=1

+/     2x+1=2=>2x=1=>x=1/2        (loại)

         y=6

+/       2x+1=6=>2x=5=>x=5/2          (loại)

          y=2

+/        2x+1=3=>2x=2=>x=1           (TM)

          y=4

+/2x+1=4=>2x=3=>x=3/2          (loại)

  y=3

vậy 

x=0 thì y=12

x=1 thì y =4

Giải:

Ta có:

\(\left(a+b+c+d\right)^2=\) \(\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\right]^2\)

\(\ge4\left(a+c\right)\left(b+d\right)\) \(=4\left(ab+bc+cd+da\right)\)\(=4\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d\) \(\ge2\left(a,b,c,d>0\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b+c+d}+\dfrac{b+c+d}{8}\) \(+\dfrac{b}{6}+\dfrac{1}{12}\ge\dfrac{2a}{3}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{b^3}{a+c+d}+\dfrac{a+c+d}{8}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{1}{12}\) \(\ge\dfrac{2b}{3}\)

\(\dfrac{c^3}{a+b+d}+\dfrac{a+b+d}{8}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{1}{12}\) \(\ge\dfrac{2c}{3}\)

\(\dfrac{d^3}{a+b+c}+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{d}{6}+\dfrac{1}{12}\) \(\ge\dfrac{2d}{3}\)

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có:

\(P\ge\dfrac{a+b+c+d}{3}-\dfrac{1}{3}\ge\) \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{2}\)