\(P_{max}=2\sqrt{5}\)

Đk: \(2\le x\le4\)

Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(P^2=\left(\sqrt{x-2}+3\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1+3^2\right)\left(x-2+4-x\right)\)

\(\Leftrightarrow P^2\le20\)\(\Leftrightarrow P\le2\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x-2}=\dfrac{\sqrt{4-x}}{3}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{5}\) (tm đk)

Có \(P^2=8\left(4-x\right)+6\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}+2\ge2\)\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=4 (tm)

a)\(-1\le sinx\le1\)

\(\Leftrightarrow1\ge-sinx\ge-1\)

\(\Leftrightarrow4\ge3-sinx\ge2\) \(\Leftrightarrow16\ge\left(3-sinx\right)^2\ge4\)\(\Leftrightarrow17\ge\left(3-sinx\right)^2+1\ge5\)

\(\Leftrightarrow17\ge y\ge5\)

\(y_{min}=5\Leftrightarrow sinx=1\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)\(\left(k\in Z\right)\)

\(y_{max}=17\Leftrightarrow\)\(sinx=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)\(\left(k\in Z\right)\)

b)\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2.sinx^2cos^2x\)\(=1-\dfrac{1}{2}.sin^22x\)

Có \(0\le sin^22x\le1\)\(\Leftrightarrow0\ge-\dfrac{1}{2}.sin^22x\ge-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow1\ge1-\dfrac{1}{2}.sin^22x\ge\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow1\ge y\ge\dfrac{1}{2}\)

\(y_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow sin^22x=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}sin2x=-1\\sin2x=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\) \(\left(k\in Z\right)\)

\(y_{max}=1\Leftrightarrow sin2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\)\(\left(k\in Z\right)\)

c)\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)=1-3sin^2x.cos^2x=1-\dfrac{3}{4}.sin^22x\)

Có \(0\le sin^22x\le1\)\(\Leftrightarrow0\ge-\dfrac{3}{4}.sin^22x\ge-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow1\ge1-\dfrac{3}{4}.sin^22x\ge\dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow1\ge y\ge\dfrac{1}{4}\)

​\(y_{min}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow sin^22x=1\)​\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in Z\right)\)​​

\(y_{max}=1\Leftrightarrow sin2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\)\(\left(k\in Z\right)\)

Vậy...

Do AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A nên AH cùng là đường trung tuyến

\(\Rightarrow\)H là trung điểm của BC

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHC có:
\(HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Do M là trung điểm của HC\(\Rightarrow HM=\dfrac{HC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (cm)

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác AMH vuông có:

\(AH^2+HM^2=AM^2\)

\(\Leftrightarrow AM=\sqrt{AH^2+HM^2}=\sqrt{3+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}\left(cm\right)\)

Có M và H lần lượt là tđ của HC và CA

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác AHC

\(\Rightarrow\) MN//AH và \(MN=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(cm)

Vì \(AH\perp BC\)\(\Rightarrow MN\perp BC\)

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác BNM vuông có:

\(BN^2=MN^2+BM^2=\dfrac{3}{4}+\left(BC-MC\right)^2=\dfrac{3}{4}+\left(2HC-HM\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{21}{4}\)

\(\Rightarrow BN=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\) (cm)

Vậy...

\(n_{CuO}=\dfrac{16}{80}=0.2\left(mol\right)\)

\(n_{H_2SO_4}=\dfrac{200.20\%}{98}=\dfrac{20}{49}\left(mol\right)\)

PT:   \(H_2SO_4+CuO\rightarrow CuSO_4+H_2O\) 

(ĐB)    \(\dfrac{20}{49}\)         \(0,2\)

(PƯ)   \(0,2\)         \(0,2\)

(SPƯ)\(\dfrac{51}{245}\)          0          \(0,2\)

\(\Rightarrow n_{CuSO_4}=0,2\left(mol\right)\)\(\Rightarrow m_{CuSO_4}=32\left(g\right)\)

b)Từ PT \(\Rightarrow n_{H_2SO_4dư}=\dfrac{51}{245}\left(mol\right)\)

\(\Rightarrow m_{H_2SO_4dư}=20,4\left(g\right)\)

\(m_{ddspu}=16+200=216\left(g\right)\)

\(\Rightarrow C\%_{H_2SO_4dư}=\dfrac{20,4}{216}.100\%\approx9,4\left(\%\right)\)

\(C\%_{CuSO_4}=\dfrac{32}{216}.100\%\approx14,84\left(\%\right)\)

Vậy...

\(Fe+H_2SO_4\rightarrow FeSO_4+H_2\) (1)

\(Zn+H_2SO_4\rightarrow ZnSO_4+H_2\) (2)

Đặt \(n_{Fe}=a\left(mol\right);n_{Zn}=b\left(mol\right)\)

\(\Rightarrow56a+65b=12,1\)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow\Sigma_{n_{H_2}}=a+b=\dfrac{4,48}{22,4}=0,2\)

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}56a+65b=12,1\\a+b=0,2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0,1\\b=0,1\end{matrix}\right.\)

\(\%m_{Fe}=\dfrac{0,1.56}{12,1}.100\%=46,28\%\)

\(\%m_{Zn}=\dfrac{0,1.65}{12,1}.100\%=53,72\%\)

b) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Sigma n_{H_2SO_4}=a+b=0,2\left(mol\right)\)

\(C_{M\left(H_2SO_4\right)}=\dfrac{0,2}{0,5}=0,4\left(M\right)\).

Gọi m là khối lượng nước

Có \(Q_{tỏa}=Q_{thu}\)

\(\Leftrightarrow0,2\left(100-25\right).380=m\left(25-20\right).4200\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{70}\left(kg\right)\)