Có nghĩa là với x nguyên thì \(\sqrt{x}\) sẽ có hai trường hợp là \(\sqrt{x}\) là số nguyên hoặc \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ ấy bạn (VD: \(\sqrt{2};\sqrt{3};...\) là số vô tỉ ,còn \(\sqrt{1};\sqrt{9}\)... là số nguyên)

Đk: \(x\ge6\)

pt\(\Leftrightarrow\sqrt{5x^2+4x}=5\sqrt{x}+\sqrt{x^2-3x-18}\)

\(\Leftrightarrow5x^2+4x=25x+x^2-3x-18+10\sqrt{x\left(x^2-3x-18\right)}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-9x+9=5\sqrt{x^3-3x^2-18x}\)

\(\Leftrightarrow4x^4+81x^2+81-36x^3-162x+36x^2=25\left(x^3-3x^2-18x\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4-61x^3+192x^2+288x+81=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-9\right)\left(4x+3\right)\left(x^2-7x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x+3\right)\left(x-9\right)\left(x-\dfrac{7+\sqrt{61}}{2}\right)\left(x-\dfrac{7-\sqrt{61}}{2}\right)=0\)

mà x \(\ge6\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+3>0\\x-\dfrac{7-\sqrt{61}}{2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-9\right)\left(x-\dfrac{7+\sqrt{61}}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\\x=\dfrac{7+\sqrt{61}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

Áp dụng định lí Ta-lét có:

\(\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{MS}{SN}\)

\(\dfrac{MS}{SN}=\dfrac{MB}{NC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{MB}{NC}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{NC}{DN}=\dfrac{MB}{AM}=1\) (vì M là trung điểm của AB)

=> NC=DN =>N là tđ của CD

\(sin\left(\alpha+2\beta\right)=3sin\alpha\)

\(\Leftrightarrow sin\left(\alpha+\beta\right).cos\beta+cos\left(\alpha+\beta\right).sin\beta=3sin\left(\alpha+\beta-\beta\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\left(\alpha+\beta\right).cos\beta+cos\left(\alpha+\beta\right).sin\beta=3\left[sin\left(\alpha+\beta\right).cos\beta-cos\left(\alpha+\beta\right).sin\beta\right]\)

\(\Leftrightarrow4.cos\left(\alpha+\beta\right).sin\beta=2.sin\left(\alpha+\beta\right).cos\beta\)

\(\Leftrightarrow2.\dfrac{sin\beta}{cos\beta}=\dfrac{sin\left(\alpha+\beta\right)}{cos\left(\alpha+\beta\right)}\)

\(\Leftrightarrow tan\left(\alpha+\beta\right)=2.tan\beta\)

*)\(cos\dfrac{2\pi}{7}=2.cos^2\dfrac{\pi}{7}-1\)

\(1+2cos\dfrac{2\pi}{7}=\left(1+cos\dfrac{2\pi}{7}\right)+cos\dfrac{2\pi}{7}\)\(=2cos^2\dfrac{\pi}{7}+cos\dfrac{2\pi}{7}\)

*)Mình không biết bạn nói dòng 5 là chỗ nào nên mình nói chung chung như này:

\(sin\dfrac{\pi}{7}=2.sin\dfrac{\pi}{14}.cos\dfrac{\pi}{14}\) (áp dụng: \(sin2\alpha=2.sin\alpha.cos\alpha\))

\(\Rightarrow sin\dfrac{\pi}{14}=\dfrac{sin\dfrac{\pi}{7}}{2.cos\dfrac{\pi}{4}}\)

Sau đó mình đưa \(sin\dfrac{\pi}{7}\) vào trong ngoặc thì chỉ còn lại \(\dfrac{1}{2.cos\dfrac{\pi}{14}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{cos\dfrac{\pi}{14}}\)

Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d) có:

\(2x^2=2x+m\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2x-m=0\) (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm trong  góc phần tư thứ 1

<=> pt (1) có hai nghiệm pb dương (không cần xét tung độ bởi tung độ luôn dương)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-4.2.\left(-m\right)>0\\1>0\left(lđ\right)\\-\dfrac{m}{2}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{2}\\m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(-\dfrac{1}{2}< m< 0\)

a)Có \(\widehat{MEC}=\widehat{MFC}\left(=90^0\right)\)

=>Tứ giác MECF nội tiếp

b)Có \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\(\widehat{ACB}=\widehat{EMF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đt ngoại tiếp tứ giác MECF)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

Tương tự cũng có: \(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}=\left(\widehat{ECM}\right)\)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta MEF\) có:

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}\)

nên \(\Delta BMA\sim\Delta FME\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{FM}=\dfrac{BA}{FE}\) \(\Leftrightarrow BM.EF=AB.FM\)

c) Gọi \(K=FE\cap AB\)

Có \(\widehat{MFK}=\widehat{ABM}\left(=\widehat{ECM}\right)\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác BKMF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BKM}+\widehat{MFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BKM}=90^0\)

Có: \(\widehat{PAM}+\widehat{BCM}=180^0\) (vì BAMC nội tiếp do bốn đỉnh cùng thuộc đt tâm O)

\(\widehat{MCB}+\widehat{MEF}=180^0\) (vì EMCF nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{MEQ}\) mà \(\dfrac{AP}{EQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}EF}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{AM}{EM}\)

=> Tam giác APM và EQM đồng dạng (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{EQM}\) hay góc KPM= góc KQM

\(\Rightarrow\) Tứ giác KPQM nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{PKM}+\widehat{MQP}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MQP}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta MQP\) vuông tại Q

=> PM²=MQ²+PQ² 

(toi xỉu)

Gọi \(\Delta:x+y-1=0\)

\(M\in\Delta:x+y-1=0\)

\(\Rightarrow M\left(t;1-t\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}\left(-1-t;2+t\right)\)

Có \(MN=5\) \(\Rightarrow\left(-1-t\right)^2+\left(2+t\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow2t^2+6t-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-5\end{matrix}\right.\)

=>\(M\left(2;-1\right)\) hoặc \(M\left(-5;6\right)\)

\(P=\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}\right)-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}+1}\) đk: \(x\ge0,x\ne1\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+1}:\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(x+1\right)-\left(x+1\right)}\right]-\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+1}:\dfrac{\left(x+1\right)-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}-\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}-\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1-\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

b)Để P<4 \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}< 4\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}-4< 0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+2-4\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}< 0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}6-3\sqrt{x}>0\\\sqrt{x}-1< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}6-3\sqrt{x}< 0\\\sqrt{x}-1>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}< 2\\\sqrt{x}< 1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>2\\\sqrt{x}>1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}< 1\\\sqrt{x}>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x< 1\\x>4\end{matrix}\right.\)

Vậy...

c)\(P=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\) \(=1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\)

Để P nguyên khi \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\) nguyên

\(x\in Z\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}\in Z\\\sqrt{x}\in I\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1\in Z\\\sqrt{x}-1\in I\end{matrix}\right.\)

Tại \(\sqrt{x}-1\in I\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\notin Z\) (L)

Tại\(\sqrt{x}-1\in Z\) .Để \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\in Z\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(3\right)=\left\{-1;1;-3;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2;-2;4\right\}\) mà \(\sqrt{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2;4\right\}\) \(\Leftrightarrow x\in\left\{0;4;16\right\}\) (tm)

\(x-y=9\) \(\Leftrightarrow x=9+y\) thay vào B ta được:

\(B=\dfrac{4\left(9+y\right)-9}{3\left(9+y\right)+y}-\dfrac{4y+9}{3y+9+y}=\dfrac{27+4y}{27+4y}-\dfrac{4y+9}{4y+9}\)\(=1-1=0\)