\(M=\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

\(=\dfrac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\)

2) Thay x=9 vào M đã rút gọn ta được:

\(M=\dfrac{\sqrt{9}-1}{9+\sqrt{9}+1}=\dfrac{2}{13}\)

3) Có \(M=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(\Leftrightarrow x.M+\sqrt{x}\left(M-1\right)+1+M=0\) (*)

Tại x=0 pt (*) <=> M=-1  (1)

Tại x khác 0, coi pt (*) là pt bậc 2 ẩn \(\sqrt{x}\)

Pt (*) có nghiệm không âm <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3M^2-6M+1\ge0\\\dfrac{1-M}{M}\ge0\\\dfrac{1+M}{M}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0< M\le\dfrac{-3+2\sqrt{3}}{3}\) (2)

Từ (1) (2)=>  \(M_{min}=-1\) <=> x=0

Đường tròn (C) có tâm I(-1;-3) và R=5

Gọi \(C\left(x_C;y_C\right)\) 

Có MC=2MB và M nằm giữa B và C

 \(\Rightarrow\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C-5=3\left(x_M-5\right)\\y_C-1=3\left(x_M-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{10+x_C}{3}\\y_M=\dfrac{2+y_C}{3}\end{matrix}\right.\)   => \(M\left(\dfrac{10+x_C}{3};\dfrac{2+y_C}{3}\right)\)

Gọi \(F\left(\dfrac{2x_C+5}{3};\dfrac{2y_C+1}{3}\right)\) là tđ của MC

\(\Rightarrow\overrightarrow{FC}\left(\dfrac{x_C-5}{3};\dfrac{y_C-1}{3}\right)\) và \(\overrightarrow{FI}\left(\dfrac{-2x_C-8}{3};\dfrac{-10-2y_C}{3}\right)\)

\(FC^2+FI^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x_C-5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{y_C-1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{-2x_C-8}{3}\right)^2+\left(\dfrac{-10-2y_C}{3}\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow5x_C^2+22x_C+5y_C^2+38y_C-35=0\) (*)

mà \(C\in\left(C\right)\) => \(\left(x_C+1\right)^2+\left(y_C+3\right)^2=25\) 

<=> \(x_C^2+2x_C+y_C^2+6y_C-15=0\) \(\Leftrightarrow5x_C^2+10x_C+5y_C^2+30y_C-75=0\) (2*)

Từ (*) (2*) => \(3x_C+2y_C+10=0\) \(\Leftrightarrow y_C=-\dfrac{3x_C+10}{2}\) thay vào pt (C) có:

\(\left(-\dfrac{3x_C+10}{2}+3\right)^2+\left(x_C+1\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_C=-4\\x_C=\dfrac{20}{13}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y_C=1\\y_C=-\dfrac{95}{13}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(-4;1\right)\\C\left(\dfrac{20}{13};-\dfrac{95}{13}\right)\end{matrix}\right.\)

TH1: (d) qua điểm C(-4;1) và B => (d):y-1=0

TH2: (d) qua điểm \(C\left(\dfrac{20}{13};-\dfrac{95}{13}\right)\) và B => (d): 108x-45y-495=0

(Bạn xem có đúng ko)

Đoán đề: \(\dfrac{x^2-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x-6\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+2\right)}\ge0\)

Xét x-1=0 <=> x=1

x+1=0 <=> x=-1

x-3=0 <=> x=3

x+2=0 <=>x=-2

Bảng xét dấu:

Để VT \(\ge0\) <=> x\(\in\left(-2;-1\right)\cup\left(3;+\infty\right)\cup\left\{1\right\}\) 

Để pt có hai nghiệm <=> \(\Delta\ge0\)\(\Leftrightarrow16m^2-64m+48\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\in R\backslash\left(1;3\right)\)

Có \(x_1+x_2-2x_1x_2< 8\)

\(\Leftrightarrow2\left(2m-3\right)-2\left(4m-3\right)< 8\)

\(\Leftrightarrow-4m-8< 0\)

\(\Leftrightarrow m>-2\)

Kết hợp với đk => \(m\in\left(-2;1\right)\cup\left(3;+\infty\right)\cup\left\{1;3\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=500\\\dfrac{8}{10}x+\dfrac{9}{10}y=420\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=500-y\\\dfrac{8}{10}\left(500-y\right)+\dfrac{9}{10}y=420\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=500-y\\400+\dfrac{y}{10}=420\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=500-y=300\\y=200\end{matrix}\right.\)

Vậy (x,y)=(300,200)

TH1 là m=0 thì TH2 là \(m\ne0\)

Bpt có tập nghiệm là R <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\)

Đáp án: m\(\in\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\)

\(\left(cosx-sinx\right).sinx.cosx=cos.cos2x\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x-sin^2x.cosx=cos\left(1-2sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x=cosx-sin^2x.cosx\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x=cosx\left(1-sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x=cos^3x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos^2x=0\\sinx=cosx\end{matrix}\right.\)

Xét \(cos^2x=0\Leftrightarrow cosx=0\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in Z\right)\)

Xét \(sinx=cosx\) \(\Leftrightarrow sinx-cosx=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}.sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi\)\(\left(k\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)(\(k\in Z\))

Vậy \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) hoặc \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z\)

Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d) có:

\(x^2=\left(2m-1\right)x+8\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x-8=0\) (*)

Có \(ac=-8< 0\) => pt luôn có hai nghiệm trái dấu

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm pb có hoành độ trái dấu hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung

Hoành độ gđ của A và B là hai nghiệm của pt (*) mà \(x_1< x_2\Rightarrow x_1< 0< x_2\)

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)  (|)

Giả sử \(\dfrac{\left|x_1\right|}{\left|x_2\right|}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x_1}{x_2}=4\)\(\Leftrightarrow x_1+4x_2=0\)  (||)

Từ (|), (||) có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1+4x_2=0\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{1-2m}{3}\\x_1=\dfrac{4\left(2m-1\right)}{3}\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\left(1-2m\right)}{3}.\dfrac{4\left(2m-1\right)}{3}=-8\) \(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2=18\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm\sqrt{18}}{2}\)

Vậy...

Dòng 4 toi viết nhầm nha, là +2002 

\(M=5x^2+y^2-2x+2y+2xy+2004\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+2y\left(x+1\right)+y^2+4x^2-4x+1+2002\)

\(=\left(x+1\right)^2+2y\left(x+1\right)+y^2+\left(2x-1\right)^2+2002\)

\(=\left(x+1+y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+2003\ge2002\) với mọi x,y

=> \(M_{min}=2002\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{2}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M_{min}=2002\)