\(\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}\right)\left(\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}\right)\)\(=\left(\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)\)\(=\left[\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\right]\left[-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\right]\)

\(=\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\dfrac{3}{16}AB^2+\dfrac{9}{16}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{16}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\dfrac{3}{16}AD^2\)

\(=\dfrac{3}{16}AB^2+0-0-\dfrac{3}{16}AB^2=0\)

Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.\left(-3\right)=4\left(m-1\right)^2+12>0\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-3\ne0\forall m\end{matrix}\right.\)

Có \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=\left(m-1\right)x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(m-1\right).\left(-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3-3\left(-3\right).2\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+9\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)(do \(8\left(m-1\right)^2+9>0\) với mọi m)

Vậy m=1

Đề như này hả bạn? :V

\(\left(x-3\right)^3-\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)+9\left(x+1\right)^2=15\)

\(\Leftrightarrow x^3-9x^2+27x-27-\left(x^3-27\right)+9\left(x+1\right)^2=15\)

\(\Leftrightarrow-9x^2+27x+9\left(x^2+2x+1\right)=15\)

\(\Leftrightarrow45x=6\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{15}\)

Vậy...

Tại đề hỏi tìm tập xác định mà, tập xác định của hàm số y=f(x) có nghĩa là tìm các giá trị của x làm cho biểu thức f(x) có nghĩa ấy, giống như tìm điều kiện thôi

VD:Cho hàm số:y=\(\sqrt{1-2x}\) 

ĐKXĐ: \(1-2x\ge0\) \(\Leftrightarrow x\le\dfrac{1}{2}\) .

Vậy TXĐ của biểu thức là \(D=R\backslash\left(\dfrac{1}{2};+vc\right)\)

Bài 5: 

 \(\Delta=4m^2-16m+20=4\left(m-2\right)^2+4>0\) với mọi m

=> Pt luôn có hai nghiệm pb

Do x₂ là nghiemj của pt =>\(x_2^2=2\left(m+1\right)x_2-6m+4\)

Có \(\left(2m-2\right)x_1+x_2^2=4x_2+4\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)x_1+2\left(m+1\right)x_2-6m+4=4x_2+4\) 

\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-2x_1+2x_2-6m-4x_2=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1+x_2\right)-6m=0\)

\(\Leftrightarrow2m.2\left(m+1\right)-2.2.\left(m+1\right)-6m=0\)

\(\Leftrightarrow m=2\)(thỏa)

Vậy m=2

Bài 3: Để pt có hai nghiệm pb <=> \(\Delta=m^2-4>0\)

Do x₁ là một nghiệm của pt => \(x_1^2-mx_1+1=0\)  \(\Leftrightarrow x_1^2+1=mx_1\)

Có \(x_2\left(x_1^2+1\right)=3\Leftrightarrow mx_1.x_2=3\) \(\Leftrightarrow m=3\) (thỏa mãn đk)

Vậy m=3

Bài 4:

Để pt có hai nghiệm pb <=> \(\Delta=48-8m>0\) <=> \(m< 6\)

Do x₁;x₂ là hai nghiệm của pt => \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-6x_1+2m-3=0\\x_2^2-6x_2+2m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-5x_1+2m-4=x_1-1\\x_2^2-5x_2+2m-4=x_2-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left(x_1^2-5x_1+2m-4\right)\)\(\left(x_2^2-5x_2+2m-4\right)\)=\(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2=x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\)

\(\Leftrightarrow2=2m-3-6+1\)

\(\Leftrightarrow m=5\) (thỏa)

Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d):

\(2x^2=mx+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\)  (1)

Có ac=2.(-1)=-2 => Pt (1) luôn có hai nghiệm pb trái dấu => (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm khác phía nhau so với trục tung.

Giả sử \(A\left(x_1;2x^2_1\right);B\left(x_2;2x^2_2\right)\) là hai gđ của (d) và (P) với x_1;x₂ là hai nghiệm của pt (1)

Giả sử x₁<0<x₂

Gọi A' ; B' là hình chiếu của A và B lên trục Ox

=>\(AA'=2x^2_1;BB'=2x^2_2\)

\(OA'=\left|x_1\right|=-x_1\) ; \(OB'=\left|x_2\right|=x_2\)

Có \(S_{OAB}=S_{A'ABB'}-S_{OAA'}-S_{OBB'}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3m}{2}=\dfrac{1}{2}.A'B'\left(AA'+BB'\right)-\dfrac{1}{2}.OA'.AA'-\dfrac{1}{2}.OB'.BB'\)

\(\Leftrightarrow3m=\left(-x_1+x_2\right)\left(2x^2_1+2x^2_2\right)+x_1.2x^2_1-x_2.2x^2_2\)

\(\Leftrightarrow3m=-2x_1^3-2x_1.x_2^2+2x_1^2.x_2+2x_2^3+2x_1^3-2x_2^3\)

\(\Leftrightarrow3m=2x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow3m=2.\left(-\dfrac{1}{2}\right).-\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\) (do x₁<x₂ =>x₁-x₂<0)

\(\Leftrightarrow3m=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2-4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)\(=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9m^2=\dfrac{m^2}{4}+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^2=\dfrac{8}{35}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=\dfrac{2\sqrt{70}}{35}\)

Vậy...

(Bạn kiểm tra lại xem, có thể mk sẽ tính nhầm nhưng dạng làm vẫn như thế)

\(D=\dfrac{5}{2x^2+6x}-\dfrac{4-3x^2}{x^2-9}-3\) (đk:\(x\ne3;x\ne-3\))

\(=\dfrac{5}{2x\left(x+3\right)}-\dfrac{4-3x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-3\)

\(=\dfrac{5\left(x-3\right)}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{\left(4-3x^2\right).2x}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{3.2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{5x-15-8x+6x^3-6x\left(x^2-9\right)}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{51x-15}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

a) Đáp án: \(\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\\sinx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))

Vậy...

b) \(3sin^2x+7cos2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow3sin^2x+7\left(1-2sin^2x\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow11.sin^2x=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{2\sqrt{11}}{11}\\sinx=\dfrac{-2\sqrt{11}}{11}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=arc.sin\dfrac{2\sqrt{11}}{11}+k2\pi\\x=\pi-arc.sin\dfrac{2\sqrt{11}}{11}+k2\pi\\x=arc.sin\dfrac{-2\sqrt{11}}{11}+k2\pi\\x=\pi-arc.sin\dfrac{-2\sqrt{11}}{11}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\)) (Dị quá,câu này e ko biết đ/a đúng hay sai đâu)

Vậy...

c)\(\dfrac{4.sin^2x+6.sin^2x-9-3.cos2x}{cosx}=0\) (đk: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\),\(k\in Z\))

\(\Rightarrow10sin^2x-9-3\left(1-2.sin^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin^2x=\dfrac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\sinx=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\)) (Thỏa mãn đk)

Vậy...