Ta thấy quy luật tính chẵn, lẻ của dãy trên là: Lẻ, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ, chẵn. lẻ, lẻ, chẵn,..., tức là cứ có 2 số lẻ thì có 1 số chẵn.

Ta có 2021 : 3 = 673 dư 2 nên dãy đã cho có 674 . 2 = 1348 số lẻ.

b) \(\widehat{NAB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\) nên NA là tiếp tuyến của (O).

Do O, N nằm trên đường trung trực của AB nên A, B đối xứng với nhau qua ON.

Từ đó NB là tiếp tuyến của (O).

c) Do NA là tiếp tuyến của (O) nên \(\Delta NAL\sim\Delta NKA(g.g)\)

\(\Rightarrow\dfrac{NA}{NK}=\dfrac{AL}{KA}=\dfrac{NL}{NA}\Rightarrow\left(\dfrac{AL}{KA}\right)^2=\dfrac{NA}{NK}.\dfrac{NL}{NA}=\dfrac{NL}{NK}\).

Tương tự do NB là tiếp tuyến của (O) nên \(\left(\dfrac{BL}{KB}\right)^2=\dfrac{NL}{NK}\Rightarrow\left(\dfrac{AL}{KA}\right)^2=\left(\dfrac{BL}{KB}\right)^2\Rightarrow\dfrac{AL}{KA}=\dfrac{BL}{KB}\Rightarrow\dfrac{AL}{BL}=\dfrac{KA}{KB}=\dfrac{2R}{KB}\).

Từ đó \(\dfrac{BK.AL}{BL}=2R\) không đổi \(\).

Sửa lại đề là đường tròn (HDS) đi qua một điểm cố định.

Ta có \(\widehat{ASE}=\widehat{EAS}=\widehat{OCA}\) nên tứ giác OECS nội tiếp. Từ đó \(AO.AS=AE.AC=AH.AD\). Suy ra tứ giác OHDS nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác HDS đi qua O cố định

Quãng đường xe máy thứ nhất đã đi được khi người thứ hai khởi hành là:

\(40.\dfrac{3}{2}=60\left(km\right)\).

Thời gian để 2 xe gặp nhau kể từ khi xe máy thứ hai khởi hành là: \(\dfrac{60}{60-40}=3\left(h\right)\).

Hai xe gặp nhau lúc: 8h30ph + 3h = 11h30ph

Từ đề bài suy ra vận tốc ô tô gấp 4 lần vận tốc xe đạp.

Mà ô tô chạy nhanh hơn xe đạp 42km/giờ

Do đó vận tốc xe đạp là: 42 : (4 - 1) = 14 (km/h)

Vận tốc xe đạp là: 14 x 4 = 56 (km/h)

a) PT \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^4+\sqrt{\left(x+1\right)^2+9}=3\).

Ta có \(\left(x+1\right)^4+\sqrt{\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

Vậy..

Áp dụng bđt AM - GM ta có \(\sqrt{\dfrac{a^2+\left(b+c\right)^2}{2a\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+\left(b+c\right)^2}{2a\left(b+c\right)}+1\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2a\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}a\left(b+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\).

Tương tự,...

Cộng vế với vế ta có \(\sqrt{\dfrac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b\left(c+a\right)}{b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c\left(a+b\right)}{c^2+\left(a+b\right)^2}}\ge\dfrac{4\sqrt{2}\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\). (*)

Mặt khác do a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(a\left(b+c-a\right)+b\left(c+a-b\right)+c\left(a+b-c\right)>0\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge a^2+b^2+c^2\Rightarrow4\left(ab+bc+ca\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\). (**)

Từ (*) và (**) ta có đpcm.