\(\Delta\) ABC có AB = AC => \(\Delta\) ABC cân tại A

\(\widehat{A}\) = 100⁰ => \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) = \(\frac{180^0-100^0}{2}=40^0\)

\(\Delta\) ABD có BD = AB => \(\Delta\) ABD cân tại B

=> \(\widehat{A1}\) = \(\widehat{D1}\) = \(\frac{180^0-40^0}{2}=70^0\)

ta có \(\widehat{A1}\) + \(\widehat{A2}\) = 100⁰

mà \(\widehat{A1}\) = 70⁰ => \(\widehat{A2}\) = 30⁰

xét \(\Delta\) BID và \(\Delta\) EIC có

ID = IE ( gt)

BI = IC ( I là t/điểm của BC )

\(\widehat{BID}\) = \(\widehat{EIC}\) ( đối đỉnh )

=>\(\Delta\) BID = \(\Delta\) CIE ( cgc )

=> \(\widehat{BDI}\) = \(\widehat{IEC}\) ( 2 góc tương ứng ) mà \(\widehat{IEC}\) = \(\widehat{AEH}\) ( đối đỉnh )

=> \(\widehat{AEH}\) = \(\widehat{BDI}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=>HC // BD mà BD \(\perp\)AB (gt) => HC \(\perp\) AB

=> \(\Delta\) AHC vuông tại H

M, N ở đâu

a, xét \(\Delta\) ABD và \(\Delta\) ACE có

AB = AC ( \(\Delta\) ABC cân tại A )

\(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) ( \(\Delta\) ABC cân tại A )

BD = CE (gt)

=> \(\Delta\) ABD và \(\Delta\) ACE ( cgc)

b, xét \(\Delta\) HBD và \(\Delta\) KCE có

\(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) ( \(\Delta\) ABC cân tại A )

\(\widehat{H}\) = \(\widehat{K}\) = 90⁰

BD = CE ( gt)

=> \(\Delta\) HBD = \(\Delta\) KCE ( cạnh huyền - góc nhọn)

=>HD = KE

c, ta có \(\widehat{D2}\) = \(\widehat{D1}\) ( đối đỉnh )

\(\widehat{E1}\) = \(\widehat{E2}\) ( đối đỉnh )

mà \(\widehat{D2}\) = \(\widehat{E2}\) ( \(\Delta\) HBD = \(\Delta\) KCE )

=> \(\widehat{D1}\) = \(\widehat{E1}\) => \(\Delta\) ODE cân tại O

d, ta có HD + DO = HO

EK + OE = OK

mà HD = EK ( cm câu b), OD = OE ( \(\Delta\) ODE cân tại O )

=> OH = OK

xét \(\Delta\) AHO và \(\Delta\) AKO có

AO cạnh chung

\(\widehat{H}\) = \(\widehat{K}\) = 90⁰

OH = OK ( cmt)

=> \(\Delta\) AHO = \(\Delta\) AKO ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{HAO}\) = \(\widehat{OAC}\)

=>AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

a, \(\Delta\) ADM và \(\Delta\) BDC có

DM = BD (gt)

AD = DC ( D là t/diểm của AC)

\(\widehat{ADM}\) = \(\widehat{BDC}\) ( đối đỉnh )

=> \(\Delta\) ADM = \(\Delta\) CDB (cgc)

=> \(\widehat{AMD}\) = \(\widehat{DBC}\) ( 2 góc tg ứng ) mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AM // BC ( đpcm)

b, xét \(\Delta\) NAE và \(\Delta\) CEB có

NE = EC (gt)

AE = EB ( E là t/điểm của AB )

\(\widehat{NEA}\) = \(\widehat{BEC}\) ( đối đỉnh )

=> \(\Delta\) NAE = \(\Delta\) CEB (cgc)

=>\(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{ECB}\) ( 2 góc tg ứng ) mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AN // BC

ta có AM // BC, AN // BC

=> 3 điểm M, A, N thẳng hàng

a, xét \(\Delta\) ABE và \(\Delta\) ACD có

\(\widehat{A}\) góc chung

AE = AD (gt)

AB = AC (gt)

=> \(\Delta\) ABE = \(\Delta\) ACD (cgc) => BE = CD

b, ta có \(\widehat{D1}\) + \(\widehat{D2}\) = 180^o ( kề bù )

\(\widehat{E1}\) + \(\widehat{E2}\) = 180^o ( kề bù )

mà \(\widehat{D1}\) = \(\widehat{E1}\) ( \(\Delta\) ABE = \(\Delta\) ACD )

=> \(\widehat{D2}\) = \(\widehat{E2}\)

ta có AD + DB = AB

AE + EC = AC

mà AB = AC, AD = AE => DB = EC

xét BOD và COE có

\(\widehat{D2}\) = \(\widehat{E2}\)

Lòng biết ơn đối với người khác từ xưa đến nay vốn là truyền thống của dân tộc ta. Ông cha ta luôn nhắc nhở, dạy bảo con cháu phải sống ân nghĩa thuỷ chung, đã nhận ơn của ai thì không bao giờ quên. Truyền thống đạo đức đó được thể hiện rõ nét qua câu tục ngữ "Ăn quả nhớ kẻ trồng cây".
Đây là một lời giáo huấn vô cùng sâu sắc. Khi ăn những trái cây chín mọng với hương vị ngọt ngào ta phải nhớ tới công lao vun xới, chăm bón của người trồng nên cây ấy. Từ hình ảnh ấy, người xưa luôn nhắc nhở chúng ta một vấn đề đạo đức sâu xa hơn: Người được hưởng thành quả lao động thì phải biết ơn người tạo ra nó. Hay nói cách khác: Ta phải biết ơn những người mang lại cho ta cuộc sống ấm no hạnh phúc như hôm nay.
Tại sao như vậy? Bởi vì tất cả những thành quả lao động từ của cải vật chất đến của cải tinh thần mà chúng ta đang hưởng thụ không phải tự nhiên có được. Những thành quả đó là mồ hôi, nước mắt và cả xương máu của biết bao lớp người đã đổ xuống để tạo nên. Bát cơm ta ăn là do công lao khó nhọc vất vả "một nắng hai sương" của người nông dân trên đồng ruộng. Tấm áo ta mặc, ngôi nhà ta ở, cả những vật dụng hàng ngày ta tiêu dùng là do sức lao động cần cù, miệt mài của những người thợ, những chú công nhân. Cũng như những thành tựu văn hoá nghệ thuật, những di sản của dân tộc còn để lại cho đời sau hôm nay là do công sức, bàn tay, khối óc của những nghệ nhân lao động sáng tạo không ngừng... Còn rất nhiều, nhiều nữa những công trình vĩ đại... mà ông cha ta làm nên nhằm phục vụ cho con người. Chúng ta là lớp người đi sau, thừa hưởng những thành quả ấy, lẽ nào chúng ta lại lãng quên, vô tâm không cần biết đến người đã tạo ra chúng ư? Một thời gian đằng đẵng sống trong những đêm dài nô lệ, chúng ta phải hiểu rằng đã có biết bao lớp người ngã xuống quyết tâm đánh đuổi kẻ thù... để cho ta có được cuộc sống độc lập, tự do như hôm nay. Chính vì vậy, ta không thể nào được quên những hi sinh to lớn và cao cả ấy.
Có lòng biết ơn, sống ân nghĩ thuỷ chung là đạo lí làm người, đó cũng là bổn phận, nhiêm vụ của chúng ta đối với đời. Tuy nhiên, lòng biết ơn không phải là lời nói suông mà phải thể hiện bằng hành động cụ thể. Nhà nước ta đã có những phong trào đền ơn đáp nghĩa, xã dựng những ngôi nhà tình nghĩa cho các bà mẹ anh hùng, các gia đình thương binh liệt sĩ. Việc đền ơn đáp nghĩa này đã trở thành phong trào, là chính sách lan rộng trên cả nước. Đây không chỉ là sự đền đáp công ơn đơn thuần mà nó trở thành bài học giáo dục thiết thực về đạo lí làm người của chúng ta. Cho nên mỗi người ai ai cũng cần phải có ý thức bảo vệ và phát huy những thành quả đạt được ấy ngày càng tốt đẹp hơn, có nghĩa là ta vừa là "người ăn quả" của hôm nay, vừa là "người trồng cây" cho ngày mai. Cũng từ đó ta càng thấm thía hiểu được rằng: Cha mẹ, thầy cô cũng chính là người trồng cây, còn ta là người ăn quả. Vì vậy ta cần phải thực hiện tốt bổn phận làm con trong gia đình, bổn phận người học trò trong nhà trường. Làm được như vậy tức là ta đã thể hiện được lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với những người đã hi sinh, thương yêu, lo lắng cho ta. Đây là một việc làm không thể thiếu được ở thế hệ trẻ hôm nay.
Tóm lại, câu tục ngữ trên giúp ta hiểu rõ về đạo lí làm người. Lòng biết ơn là tình cảm cao quý và cần phải có trong mỗi con người. Vì vậy, chúng ta cần phải luôn trau dồi phẩm chất cao quý đó, nhất là đối với cha mẹ, thầy cô... với những ai đã tạo ra thành quả cho ta hưởng thụ. Lòng biết ơn mãi mãi là bài học quí báu và câu tục ngữ "Ăn quả nhớ kẻ trồng cây" có giá trị và tác dụng vô cùng to lớn trong cuộc sống của chúng ta.

........................................