Hình thím tự vẽ

a) Có AD // BM (gt), DM // AB (gt) => DA = BM; DM = AB ( tính chất đoạn chắn) (1)

AE // CM (gt); AC // EM (gt) => AE = CM; AC = EM ( tính chất đoạn chắn) (2)

Từ (1) và (2) => AD + AE = BM + CM

=> DE = BC

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MDE\) có:

AB = DM (cmt)

BC = DE (cmt)

AC = EM (cmt)

Do đó, \(\Delta ABC=\Delta\)MDE (c.c.c)

A = |1 - 2x| + |4x - 2| - 10

A = |2x - 1| + 2.|2x - 1| - 10

A = 3.|2x - 1| - 10 \(\ge\) -10

Dấu "=" xảy ra khi |2x - 1| = 0

<=> 2x - 1 = 0

<=> 2x = 1

<=> x = 1/2

Vậy GTNN của A là -10 khi x = 1/2

Có: (4x + 19) - (2x + 5) = 3^a - 3^b

=> 3^a - 3^b = 2x + 14

(2x + 14) - (2x + 5) = 3^a - 3^b - 3^b

=> 9 = 3^a - 2.3^b = 3^b.(3^a-b - 2)

=> 9 chia hết cho 3^b; 9 chia hết cho 3^a-b - 2

Mà 3^a-b - 2 chia 3 dư 1 và 3^a-b - 2 > 0 do a > b; a;b thuộc N

=> 3^b = 9 = 3²; 3^a-b - 2 = 1

=> b=2; 3^a-b = 3

=> b=2; a-b=1

=> b=2;a=3

Thay vào đề bài ta có:

4x + 19 = 3³ = 27

=> 4x = 27 - 19 = 8

=> x = 8 : 4 = 2

Vậy x = 2; a = 3; b = 2

Gọi số cần tìm là a (999 < a < 10 000)

Do a chia 18;24;30 dư lần lượt 13;19;25

nên a-13 chia hết cho 18; a-19 chia hết cho 24; a-25 chia hết cho 30

=> a-13+18 chia hết cho 18; a-19+24 chia hết cho 24; a-25+30 chia hết cho 30

=> a+5 chia hết cho 18;24;30

=> a+5 thuộc BC(18;24;30)

Mà BCNN(18;24;30)=360

nên a+5 thuộc B(360) => a+5=360.k (k thuộc N*)

Lại có: 999 < a < 10 000

=> 1004 < a+5 < 10 005

=> 1004 < 360.k < 10 005

=> 2 < k < 28

Mà a nhỏ nhất => k nhỏ nhất => k=3

=> a=360.3-5=1075

Vậy số cần tìm là 1075

+ Nếu a+b+c=0 thì a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b

P = -c.(-a).(-b)/16120abc = -1/16120

+ Nếu a+b+c khác 0

Áp dung t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:

5a+5b-c/c = 5b+5c-a/a = 5c+5a-b/b

= (5a+5b-c)+(5b+5c-a)+(5c+5a-b)/c+a+b

= 9(a+b+c)/a+b+c = 9

=> 5a+5b-c=9c; 5b+5c-a=9a; 5c+5a-b=9b

=> 5a+5b=10c; 5b+5c=10a; 5c+5a=10b

=> a+b=2c; b+c=2a; c+a=2b

P = 2c.2a.2b/16120abc = 1/2015

Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:

A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2

Từ (1) và (2) => đpcm

m^3 + 3m^2 - m - 3

= m^2.(m + 3) - (m + 3)

= (m^2 - 1)(m + 3)

= (m - 1)(m + 1)(m + 3)

Vì m là số nguyên lẻ nên (m - 1)(m + 1)(m + 3) là tích 3 số nguyên chẵn liên tiếp

Do đó (m - 1)(m + 1)(m + 3) chia hết cho 16 (1)

(m - 1)(m + 1)(m + 3) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) mà (16;3)=1 nên (m - 1)(m + 1)(m + 3) chia hết cho 48

=> m^3 + 3m^2 - m - 3 chia hết cho 48 (đpcm)

+ Nếu x < -3, ta có:

3(x - 1) - 2|x + 3| = 3(x - 1) - 2(-3 - x)

= 3x - 3 + 6 + 2x

= 5x + 3

+ Nếu \(x\ge-3\) ta có:

3(x - 1) - 2|x + 3| = 3(x - 1) - 2(x + 3)

= 3x - 3 - 2x - 6

= x - 9

Do a chia hết cho 153 nên a = 153.b = 3².17.b (b ϵ N*)

Vì số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên để a là số chính phương thì b = 17.k² (k ϵ N*)

Có: 999 < a < 10000

=> 999 < 153.b < 10000

=> 6 < b < 66

=> 6 < 17.k² < 66

=> 0 < k² < 4

=> k² = 1

=> b = 17.1= 17

=> a = 153.17 = 2601

+ Nếu m = 0 thì B = 1 + 5⁰ + 8⁰ = 1 + 1 + 1 = 3, không là số chính phương

+ Nếu m > 0

Có: \(5\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow5^m\equiv1\left(mod4\right)\)

\(1\equiv1\left(mod4\right)\)

\(8^m\equiv0\left(mod4\right)\)

Do đó, \(B=1+5^m+8^m\equiv1+1+0=2\left(mod4\right)\)

Như vậy B chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, không là số chính phương