\(\frac{1}{101^2}+\frac{1}{102^2}+\frac{1}{103^2}+\frac{1}{104^2}+\frac{1}{105^2}\)

\(< \frac{1}{100.101}+\frac{1}{101.102}+\frac{1}{102.103}+\frac{1}{103.104}+\frac{1}{104.105}\)

\(< \frac{1}{100}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+\frac{1}{102}-\frac{1}{103}+\frac{1}{103}-\frac{1}{104}+\frac{1}{104}-\frac{1}{105}\)

\(< \frac{1}{100}-\frac{1}{105}=\frac{1}{2100}\)

\(< \frac{1}{2^2.3.5^2.7}\)

Vì khi chia số đó cho 148 được số dư là 111

=> số đó = 148.k + 111

Do 148.k chia hết cho 37; 111 chia hết cho 37

=> số đó chia hết cho 37

27.75+25.27-100=27(75+25)-100=27.100-100=2700-100=2600

Ta có:

2¹³ + 2¹⁰ + 2^x = y²

=> 8192 + 1024 + 2^x = y²

=> 9216 + 2^x = y²

=> 96² + 2^x = y²

=> 2^x = y² - 96²

=> 2^x = (y - 96).(y + 96)

=> y - 96 và y + 96 đều là lũy thừa của 2

Do y + 96 > y - 96 nên ta giả sử y + 96 = 2^m; y - 96 = 2ⁿ (m > n)

=> 2^m - 2ⁿ = (y + 96) - (y - 96)

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = y + 96 - y + 96

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = 192

=> 192 chia hết cho 2^m-n - 1

Mà 2^m-n - 1 chia 2 dư 1

=> 2^m-n - 1 = 1 hoặc 2^m-n - 1 = 3

+ Với 2^m-n - 1 = 1 thì 2ⁿ = 192, không tìm được giá trị thỏa mãn

+ Với 2^m-n - 1 = 3 thì 2ⁿ = 64 = 2⁶

=> 2^m-n = 4 = 2²; n = 6

=> m - n = 2; n = 6

=> m = 8; n = 6

=> y = 2⁸ - 96 = 160; 2^x = (160 - 96).(160 + 96) = 16384 = 2¹⁴

=> x = 14

Vậy y = 160; x = 14

Ta có hình vẽ:

Ta có: 

góc MAB = góc ABC mà MAB và ABC ở vị trí so le trong => AM // BC (1)

góc NAC = góc ACB mà NAC và ACB ở vị trí so le trong => AN // BC (2)

Từ (1) và (2) mà theo tiên đề Ơ-clit qua 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng chỉ kẻ được đúng 1 đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu => MA trùng với NA hay 3 điểm A, M, N thẳng hàng

=> MN // BC

Mà d vuông góc với BC, MN // BC => MN vuông góc với d (quan hệ từ vuông góc -> song song) (2)

Mặt khác, AM = AB, AB = AC, AC = AN

=> AM = AN hay A là trung điểm của MN (3)

Từ (2) và (3) => d là đường trung trực của MN (đpcm)

Ta có:

x + y = x.y

=> x = x.y - y

=> x = y.(x - 1)

=> x chia hết cho x - 1

=> x - 1 + 1 chia hết cho x - 1

Do x - 1 chia hết cho x - 1 => 1 chia hết cho x - 1

=> \(x-1\in\left\{1;-1\right\}\)

+ Với x - 1 = 1 thì x = 2, ta có: 2 = y.1 => y = 2

+ Với x - 1 = -1 thì x = 0, ta có: 0 = y.(-1) => y = 0

Vậy có 2 cặp giá trị (x;y) nguyên thỏa mãn đề bài là: (2;2) ; (0;0)

Ta có: \(\frac{x+2y}{3x+4y}=\frac{2}{5}\)

=> (x + 2y).5 = 2.(3x + 4y)

=> 5x + 10y = 6x + 8y

=> 10y - 8y = 6x - 5x

=> 2y = x

=> \(\frac{2y}{x}=1\)

Vậy \(\frac{2y}{x}=1\)

a) (x - 4)³ = 8

=> (x - 4)³ = 2³

=> x - 4 = 2

=> x = 2 + 4 = 6

Vậy x = 6

b) \(\frac{x}{2}=\frac{6}{10}\)

=> \(\frac{x}{2}=\frac{3}{5}\)

=> 5.x = 2.3 = 6

=> \(x=\frac{6}{5}\)

Vậy \(x=\frac{6}{5}\)

P(x)= mx - 3

=> P(-1) = m x (-1) -3=2

  => -m = 2+3

=>   -m=5

=>     m = -5          

a) Đặt A = 1 + 7 + 7² + 7³ + 7⁴ + ... + 7²⁰¹⁵ (có 2016 số; 2016 chia hết cho 4)

A = (1 + 7 + 7² + 7³) + (7⁴ + 7⁵ + 7⁶ + 7⁷) + ... + (7²⁰¹² + 7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴ + 7²⁰¹⁵)

A = 400 + 7⁴.(1 + 7 + 7² + 7³) + ... + 7²⁰¹².(1 + 7 + 7² + 7³)

A = 400 + 7⁴.400 + ... + 7²⁰¹².400

A = 400.(1 + 7⁴ + ... + 7²⁰¹²)

A = (...0) (đpcm)

b) Dãy số 1; 7; 7²; 7³; 7⁴; ...; 7²⁰¹⁵ gồm có 2016 số hạng

Ta đã biết 1 số tự nhiên khi chia cho 2015 chỉ có thể có 2015 loại số dư là dư 0; 1; 2; 3; ...; 2014. Có 2016 số mà chỉ có 2015 loại số dư nên theo nguyên lí Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 2015

Hiệu của 2 số này chia hết cho 2015

Vậy có thể tìm được 2 số hạng của dãy mà hiệu của chúng chia hết cho 2015