\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)

\(A>1\left(1\right)\)

Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a,b,m \(\in\) N*) ta có:

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)

\(A< \frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

\(A< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

=> A không là số nguyên (đpcm)

\(\frac{2^7.9^3}{6^5.8^2}=\frac{2^7.\left(3^2\right)^3}{\left(2.3\right)^5.\left(2^3\right)^2}=\frac{2^7.3^6}{2^5.3^5.2^6}=\frac{2^7.3^6}{2^{11}.3^5}=\frac{3}{2^4}=\frac{3}{16}\)

a) C = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}

b) L = {11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19}

c) A = {18 ; 20 ; 22}

d) B = {25 ; 27 ; 29 ; 31}

Vì \(\begin{cases}5a+3b⋮1995\\13a+8b⋮1995\end{cases}\) => \(\begin{cases}8.\left(5a+3b\right)⋮1995\\3.\left(13a+8b\right)⋮1995\end{cases}\)=> \(\begin{cases}40a+24b⋮1995\\39a+24b⋮1995\end{cases}\)

=> \(\left(40a+24b\right)-\left(39a+24b\right)⋮1995\)

=> \(40a+24b-39a-24b⋮1995\)

=> \(b⋮1995\left(1\right)\) 

=> \(8b⋮1995\)

Mặt khác \(13a+8b⋮1995\)

=> \(13a⋮1995\)

Mà (13;1995)=1 => \(a⋮1995\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(a,b⋮1995\left(đpcm\right)\)

Ta có:

abc : 11 = a + b + c

=> abc = (a + b + c).11

=> 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c

=> 89a = b + 10c

=> b + 10c chia hết cho 89

Mà b + 10c khác 0 do 89a khác 0; b,c là chữ số

=> b + 10c = 89; a = 1

=> b = 9; c = 8; a = 1

Vậy số abc cần tìm là 198

Kẻ tia Oz nằm trong góc AOB sao cho Oz // Ax

Ta có hình vẽ:

Ta có: OAx + AOz = 180^o (trong cùng phía) (1)

Do Ax // Oz; Ax // By => Oz // By

Lại có: BOz + OBy = 180^o (trong cùng phía) (2)

Từ (1) và (2) => (OAx + AOz) + (BOz + OBy) = 180^o + 180^o

=> OAx + AOz + BOz + OBy = 360^o

Mà AOz + BOz = AOB

=> OAx + AOB + OBy = 360^o (đpcm)

Từ điểm O bất kì kẻ 9 đường thẳng song song với 9 đường thẳng đã cho. Vì không có 2 đường thẳng nào song song nên 9 đường thẳng đi qua O sẽ tạo thành 18 góc không có điểm trong chung => tổng các góc này là 360^o

Giả sử không có góc nào \(\le20^o\) thì 18 góc này sẽ có tổng > 18 . 20^o = 360^o, vô lý vì tổng 18 góc là 360^o

Mà các góc được tạo thành 2 trong 9 đường thẳng đi qua O có số đo tương ứng với các góc tạo thành từ 2 trong 9 đường thẳng đã cho theo đề bài vì đồng vị

Vậy 9 đường thẳng trong 1 mặt phẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song với nhau luôn tồn tại ít nhất 2 đường thẳng tạo với nhau 1 góc \(\le20^o\)

\(\frac{16.17-5}{16.16+11}=\frac{16.\left(16+1\right)-5}{16.16+11}=\frac{16.16+\left(16-5\right)}{16.16+11}=\frac{16.16+11}{16.16+11}=1\)

Vì AB vuông góc với b

=> B₂ + B₁ = 90^o (1)

Lại có: C₁ + B₂ = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => B₁ = C₁

Mà B₁ và C₁ là 2 góc so le trong

=> a // b

Mà AB vuông góc với b

=> AB vuông góc với a (đpcm)

Giả sử trong 3 đường thẳng xx'; yy'; zz' cắt nhau tại O không tồn tại góc đỉnh O \(\le60^o\) (tức là tất cả các không có điểm trong chung > 60^o)

Trong 3 đường thẳng cắt nhau tại O sẽ tạo ra 6 góc không có điểm trong chung

=> tổng các góc đó > 6.60^o = 360^o (vô lý vì tổng các góc = 360^o)

=> điều giả sử là sai

Vậy trong 3 đường thẳng cắt nhau tồn tại ít nhất 1 góc có đỉnh O không \(\le60^o\)